Dia do PI: Newton e a Série Infinita para PI

Hoje é o Dia Internacional de π, a constante mais famosa do mundo que passou a ser comemorada em 1988, criado por Larry Shaw, quando o público e funcionários marcharam em torno de um dos espaços circulares do museu Exploratorium,  de São Francisco, e depois consumiram tortas de frutas. No ano seguinte o museu acrescentou pizza ao menu do Dia do Pi.

Como forma de homenagear esta constante, que constantemente se apresenta em nossas vidas, segue este post sobre a série infinita que Newton encontrou para π, utilizando notações modernas.

Gottfried W. Leibniz é conhecido na matemática como um dos inventores do cálculo diferencial e integral, juntamente com Newton. Estudando um trabalho de Blaise Pascal sobre a quadratura de um quadrante de um círculo de raio unitário, ele descobriu uma série infinita envolvendo π que é dada por:

Excitado com esta descoberta, tratou logo de publicá-la em seu periódico Acta Eruditorum. O que ele não sabia, e que explicaremos em notação moderna, é que seu grande rival Isaac Newton também descobriu uma série infinita para π dada por:

Para prová-la, Newton começou com a série geométrica:

Substituindo x por x⁴ para obter:

Multiplicando (2) por x², obtemos:

Adicionando as séries (2) e (3), segue que:

Integrando a expressão (4) com limites de 0 a 1, termo a termo, temos:

Para o leitor atento, tudo que foi feito até agora carece de rigor matemático presente nos livros atuais, mas nos primórdios do cálculo, essas manipulações eram muito comuns e somente no século XIX que os matemáticos criaram o conceito de limite, de sequência e convergência para tratar as séries infinitas de forma rigorosa.

Seguindo os passos de Newton, neste dia internacional de π, calcularemos a integral dada em (5). Notem que:

E que:

De (6) e (7), temos:

Assim:

Notem que:

Analogamente:

Substituindo (9) em I₁ da relação (8), segue que:

Onde:

Analogamente:

Assim:

Mas é fácil provar que :

Seja f (p) = arctan (p) + arctan (1 / p)

Assim:

Fazendo p = 1, segue o resultado.

De (13) temos que:

Logo, de (5) e (13), obtemos:

Referências:

[1] Burton – The History of Mathematics: An Introduction – 6ª ed. Mc Graw – Hill, 2006

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Veja mais:

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