A quadratura do círculo é um dos três problemas clássico da Geometria Grega Antiga, onde se torna impossível a construção de um quadrado com a mesma área de um círculo dado utilizando apenas régua e compasso.
No entanto, podemos encontrar aproximações que, dependendo da utilização, podem ser tomadas como equivalentes. Vamos aqui construir uma aproximação para o problema da Quadratura do Círculo.
1. Inicie com um quadrado $ABCD$ de aresta igual a $a$;
2. Encontre o ponto médio do segmento $AB$ e marque como $M$;
3. Una os pontos $M$ e $C$ e encontre o ponto médio deste segmento marcando como $O$;
4. Com centro em $O$ e raio $OM$, descreva a circunferência procurada.
Desta forma, construímos um círculo cuja área é aproximadamente igual à área do quadrado. Assim, temos que a área do quadrado é dada por:
$$ A_{Quadrado} = a^2 $$Vamos calcular a área do círculo em função da medida de a. Para tal, consideremos o triângulo retângulo BCM e apliquemos o teorema pitagórico:
$$ MC^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\\ \ \\ MC^2 = a^2 + \frac{a^2}{4}\\ \ \\ MC^2 = \frac{5a^2}{4}\\ \ \\ MC = \frac{a\sqrt{5}}{2} $$Assim, o raio da circunferências será:
$$ R = \frac{MC}{2} = \frac{a\sqrt{5}}{4} $$E a área do círculo será dada por:
$$ A_{Quadrado} \approx A_{Circulo}\\ \ \\ a^2 \approx \frac{5\pi a^2}{16}\\ \ \\ \pi \approx \frac{16}{5} = 3,2 $$Vejam que a aproximação é dada pelo valor de π, que somente se aproxima do valor real. Concluímos que a área do quadrado é ligeiramente maior que a área do círculo.
Olá, Kleber!
ResponderExcluirÉ verdade que o processo não é exato, mas, tem lá a sua utilidade, pois aproxima bastante da medida real. Aqui é aquela história, se não tem você... vai tu mesmo.
Outra coisa boa, é que não é de construção complicada para se fazer!
Gostei!
Um abraço!!!!!
É verdade Valdir. É uma construção tão simples e aproxima tão bem... porque não aprendemos isso na escola? Será que precisamos sempre ser autodidatas para saber dessas coisas?
ResponderExcluirPretendo usar essa aproximação em um trabalho de graduação, por isso preciso de autor, data, etc.
ResponderExcluirPablo, não me lembro se esta construção vi em algum lugar. Procurei por aqui e não encontrei nenhuma fonte.
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