15/09/2011

Como Construir uma Aproximação Para a Quadratura do Círculo Com Régua e Compasso

A quadratura do círculo é um dos três problemas clássico da Geometria Grega Antiga, onde se torna impossível a construção de um quadrado com a mesma área de um círculo dado utilizando apenas régua e compasso.

No entanto, podemos encontrar aproximações que, dependendo da utilização, podem ser tomadas como equivalentes. Vamos aqui construir uma aproximação para o problema da Quadratura do Círculo.

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1) Inicie com um quadrado ABCD de aresta igual a a;

2) Encontre o ponto médio do segmento AB e marque como M;

3) Una os pontos M e C e encontre o ponto médio deste segmento marcando como O;

4) Com centro em O e raio OM, descreva a circunferência procurada.

Desta forma, construímos um círculo cuja área é aproximadamente igual à área do quadrado. Assim, temos que a área do quadrado é dada por:

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Vamos calcular a área do círculo em função da medida de a. Para tal, consideremos o triângulo retângulo BCM e apliquemos o teorema pitagórico:

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Assim, o raio da circunferência será:

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E a área do círculo será dada por:

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O problema da quadratura nos diz que a área do círculo deve ser igual à área do quadrado e como esta construção é apenas uma aproximação, temos:

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Vejam que a aproximação é dada pelo valor de π, que somente se aproxima do valor real. Concluímos que a área do quadrado é ligeiramente maior que a área do círculo.


Veja mais:

Como Dividir um Ângulo em Três Partes Iguais com Régua e Compasso
Construção Geométrica da Parábola com Régua e Compasso
Os Três Problemas Famosos da Geometria Grega no blog Fatos Matemáticos



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4 comentários:

  1. Olá, Kleber!

    É verdade que o processo não é exato, mas, tem lá a sua utilidade, pois aproxima bastante da medida real. Aqui é aquela história, se não tem você... vai tu mesmo.
    Outra coisa boa, é que não é de construção complicada para se fazer!
    Gostei!

    Um abraço!!!!!

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  2. É verdade Valdir. É uma construção tão simples e aproxima tão bem... porque não aprendemos isso na escola? Será que precisamos sempre ser autodidatas para saber dessas coisas?

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  3. Pretendo usar essa aproximação em um trabalho de graduação, por isso preciso de autor, data, etc.

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    Respostas
    1. Pablo, não me lembro se esta construção vi em algum lugar. Procurei por aqui e não encontrei nenhuma fonte.

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