Como Construir uma Aproximação Para a Quadratura do Círculo Com Régua e Compasso

A quadratura do círculo é um dos três problemas clássico da Geometria Grega Antiga, onde se torna impossível a construção de um quadrado com a mesma área de um círculo dado utilizando apenas régua e compasso.

No entanto, podemos encontrar aproximações que, dependendo da utilização, podem ser tomadas como equivalentes. Vamos aqui construir uma aproximação para o problema da Quadratura do Círculo.

1) Inicie com um quadrado ABCD de aresta igual a a;

2) Encontre o ponto médio do segmento AB e marque como M;

3) Una os pontos M e C e encontre o ponto médio deste segmento marcando como O;

4) Com centro em O e raio OM, descreva a circunferência procurada.

Desta forma, construímos um círculo cuja área é aproximadamente igual à área do quadrado. Assim, temos que a área do quadrado é dada por:

Vamos calcular a área do círculo em função da medida de a. Para tal, consideremos o triângulo retângulo BCM e apliquemos o teorema pitagórico:

Assim, o raio da circunferência será:

E a área do círculo será dada por:

O problema da quadratura nos diz que a área do círculo deve ser igual à área do quadrado e como esta construção é apenas uma aproximação, temos:

Vejam que a aproximação é dada pelo valor de π, que somente se aproxima do valor real. Concluímos que a área do quadrado é ligeiramente maior que a área do círculo.

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