Para esta demonstração iremos utilizar apenas conceitos básicos de Geometria Podemos decompor a esfera em uma infinidade de pirâmides cujas bases compõem a superfície esférica e os vértices se encontram no centro da esfera.
Desta forma, a superfície da esfera fica dividida em N polígonos e a área da superfície esférica ASE é dada por:
Para o Volume da esfera, podemos dizer que é igual à soma dos volumes dessas N por:
Sabemos que o volume de uma pirâmide é dado pela fórmula:
No caso destas pirâmides que compõem a esfera, suas alturas são exatamente o raio R da esfera. Assim, a relação (3) fica:
e o volume da esfera será a soma dos volumes destas pirâmides:
Vejam que a soma das áreas da relação (5) é igual à superfície esférica dada na relação (1). Assim, temos que:
Partindo do princípio em que já sabemos como calcular o volume da esfera:
podemos determinar a superfície esférica substituindo a relação (7) em (6), obtendo:
Vejam que aqui só utilizamos conceitos básicos de Geometria, levando em conta que já sabíamos previamente a fórmula do volume da esfera.
Veja mais:
Demonstração da Fórmula da Área da Esfera
Demonstração Fórmula do Volume da Esfera
Sobre a Esfera e o Cilindro
O Princípio de Cavalieri
Interessante este método. Eu não sei se estudei em cálculo, na faculdade de engenharia, já faz tempo, mas me lembro de que decorei esta área porque ela é igual à derivada da fórmula do volume, ou seja dV/dR. De fato dá certo. Então, neste caso, quando derivamos, de certa forma "perdemos" uma dimensão? Volume (3D) "vira" área (2D)?
ResponderExcluirOu estou "viajando"?
Olá Jairo,
ResponderExcluirCreio que o fato de derivarmos o volume da esfera e encontrarmos sua área seja pura conincidência. Para outros sólidos isso não ocorre.
Não está viajando não, veja só:
$f(x)=x^3-x^2+x-5$
A derivada será:
$f\prime (x)=3x^2-2x+1$
Para o polinômio, realmente "perdemos" uma dimensão.
Aplicando essa idéia na esfera, se derivarmos a área da esfera, encontramos $8\pi R$, caímos numa reta:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=8+pi+R
Mas qual a relação com a esfera? Não sei.
Veja esse artigo sobre a área da esfera:
http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/12/demonstracao-formula-da-area-da-esfera.html
E este para o volume da esfera:
http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/06/demonstracao-formula-volume-de-esfera.html
Um abraço.
Temos neste caso a noção intuitiva de limite sendo aplicada. Quando n tende a infinito, a decomposição da esfera em polígonos fica cada vez mais parecida com a superfície esférica, e os polígonos (base das piramides) ficam cada vez menos "visíveis", chegando NO LIMITE à superfície esférica "lisa".
ResponderExcluirEu conheci o volume da esfera nas integrais triplas com coordenadas esféricas, e a superfície também como a sua derivada.
Muito bom o post! É uma alternativa, vale a pena explorá-la na escola também. ABRAÇOS
BRUNO COLLARES
Olá Bruno,
ResponderExcluirEu pensei muito antes de publicar este artigo, pois queria algo o mais simples possível, de modo que os estudantes do ensino médio pudessem entender numa boa, sem usar as idéias de limites ou cálculo diferencial e integral. Para um estudo infinitesimal já tinha um artigo publicado tanto para o volome como para a área. Confira nos links:
http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/12/demonstracao-formula-da-area-da-esfera.html
http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/06/demonstracao-formula-volume-de-esfera.html
Um abraço.
Fórmula muito útil no uso da lei de Gauss... Sybstitui-se diretamente na fórmula da integral...
ResponderExcluirAlguém pode me explica com detalhes o que significa a palavra calota ?e urgente por favor!!!
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