Esta construção geométrica consiste em encontrar um segmento de reta que se aproxime da circunferência. Desta forma, também conseguimos uma boa aproximação para π.
1) Descreva uma circunferência de centro O e raio R;
2) Trace seu diâmetro vertical marcando os pontos A e B;
3) Trace uma reta tangente em A;
4) Construa um triângulo equilátero com um dos vértices em O e os outros dois vértices C e D na circunferência, de modo que o ponto médio E da aresta CD esteja no segmento AO;
5) Prolongue o segmento OC e marque o ponto F na intersecção com a tangente;
6) Partindo de F, marque os ponto G, H e I sobre a tangente, de modo que os segmentos FG, GH e HI sejam iguais a R;
7) O segmento BI aproxima a metade da circunferência. Se o raio R = 1, então o comprimento da circunferência será igual a 2π. Como BI aproxima a metade da circunferência, logo BI aproxima π.
Demonstração:
Aplicando o teorema pitagórico no triângulo retângulo ABI, obtemos:
Mas, AB = 2R e AI = 3R – FA, assim:
No triângulo retângulo OAF, temos a relação:
Como o triângulo OFJ é equilátero, seus lados são iguais, logo:
Substituindo (4) em (3), obtemos:
Substituindo (5) em (2), obtemos:
Assim, se tivermos R = 1:
Vejam que a relação (7) nos fornece uma aproximação para π com quatro casas decimais corretas. Para uma construção geométrica é realmente um feito!
Veja mais:
Retificação da Circunferência (Parte 1)
Como Construir uma Aproximação Para a Quadratura do Círculo
Os Três Problemas Famosos da Geometria Grega no blog Fatos Matemáticos
Pelo que pude notar, os métodos geométricos só produzem aproximações para $\pi$. Não existe mesmo nenhum método que reproduza o valor de $\pi$ num segmento de reta?
ResponderExcluirAbraços.
Cláudio
Olá Cláudio,
ResponderExcluirNão conheço nenhum método que forneça o valor correto para $\pi$ numa construção desse tipo. Creio que o problema esteja relacionado ao fato de que $\pi^2$ também seja irracional. Já para $\sqrt2$, por exemplo, podemos construir um segmento desse comprimento, pois $(\sqrt2)^2 =2$
Abraços.