14/09/2011

Deserto Entre Números Primos

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

Dando continuação ao trabalho publicado neste blog sob o título: Construindo uma Sequencia de Números Não-primos, vamos mostrar, por meio de exemplos, que existem outros números não-primos (ou números compostos) consecutivos, antes e depois da sequencia:

clip_image002Há a possibilidade de ocorrer concentrações de primos em alguns lugares e a ausência deles em outros. A ausência é mais fácil de mostrar, sendo essa denominada de “desertos de primos”. Um exemplo de “desertos de primos” é dado no trabalho supracitado.

Como a quantidade de números naturais entre dois naturais ímpares é sempre ímpar, logo, a quantidade de números não primos (ou números compostos) entre dois números primos é sempre ímpar.

De posse de uma tabela de primos ente 1 e 4.000.000, descobriu-se um fato curioso: antes de n! + 2 e após n! + n pode haver um, dois ou mais números compostos e consecutivos.

Exemplos:

Para n = 3, temos: 3! + 2, 3! + 3. Logo, os 2 números compostos e consecutivos são: 8 e 9. Mas após 3! + 3 existe 1 número composto: 10. Em vez de 2 números compostos e consecutivos, são 3 (quantidade ímpar)

Para n = 4, temos: 4! + 2, 4! + 3, 4! + 4, logo, os 3 números compostos e consecutivos são: 26, 27 e 28. Mas antes de 4! + 2 existem 2 números compostos e consecutivos 24 e 25. Em vez de 3 números compostos e consecutivos, são 5 (quantidade ímpar).

Para n = 5, temos: 5! + 2, 5! + 3, 5! + 4, 5! + 5, logo, os 4 números compostos e consecutivos são: 122, 123, 124 e 125. Mas antes de 5! + 2 existem 8 números compostos e consecutivos: 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120 e 121. E após 5! + 5 existe um número composto: 126. Em vez de 4 números compostos e consecutivos, são 13 (quantidade ímpar).

Para n = 6, temos: 6! + 2, 6! + 3, 6! + 4, 6! + 5, 6! + 6, logo, os 5 números compostos e consecutivos são: 722, 723, 724, 725 e 726. Mas antes de 6! + 2 existem 2 números compostos e consecutivos: 720 e 721. Em vez de 5 números compostos e consecutivos, são 7 (quantidade ímpar).

Para n = 7, temos: 7! + 2, 7! + 3, 7! + 4, 7! + 5, 7! + 6, 7! + 7, logo, os 6 números compostos e consecutivos são: 5.042, 5.043, 5.044, 5.045, 5.046 e 5.047. Mas antes de 7! + 2 existem 2 números compostos e consecutivos: 5.040 e 5.041. E após 7! + 7 existem 3 números compostos e consecutivos: 5.048, 5.049 e 5.050. Em vez de 6 números compostos e consecutivos, são 11(quantidade ímpar).

Para n = 8, temos: 8! + 2, 8! + 3, 8! + 4, 8! + 5, 8! + 6, 8! + 7, 8! + 8, logo, os 7 números compostos e consecutivos são: 40.322, 40.323, 40.324, 40.325, 40.326, 40327 e 40328. Mas antes de 8! + 2 existem 32 números compostos e consecutivos: 40.290, 40.291, 40.292, 40.293, 40.294, 40.295, 40.296, 40.297, 40.298, 40.299, 40.300, 40.301, 40.302, 40.303, 40.304, 40.305, 40.306, 40.307, 40.308, 40.309, 40.310, 40.311, 40.312, 40.313, 40.314, 40.315, 40.316, 40.317, 40.318, 40.319, 40.320 e 40.321. E após 8! + 8 existem 14 números compostos e consecutivos: 40.329, 40.330, 40.331, 40.332, 40.333, 40.334, 40.335, 40.336, 40.337, 40.338, 40.339, 40.340, 40.341 e 40.342. Em vez de 7 números compostos e consecutivos, são 53 (quantidade ímpar).

Para n = 9, temos: 9! + 2, 9! + 3, 9! + 4, 9! + 5, 9! + 6, 9! + 7, 9! + 8, 9! + 9, logo, os 8 números compostos e consecutivos são: 362.882, 362.883, 362.884, 362.885, 362.886, 362.887, 362.888, 362.889. Mas antes de 9! + 2 existem 14 números compostos e consecutivos: 362.868, 362.869, 362.870, 362.871, 362.872, 362.873, 362.874, 362.875, 362.876, 362.877, 362.878, 362.879, 362.880 e 362.881. E após 9! + 9 existem 7 números compostos consecutivos: 362.890, 362.891, 362.892, 362.893, 362.894, 362.895 e 362.896. Em vez de 8 números compostos e consecutivos, são 29 (quantidade ímpar).

Conclusão. Com essa nova descoberta, os chamados “desertos de primos” aumentaram consideravelmente em relação àqueles que os matemáticos, até hoje, consideravam somente os números não primos dados por:

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Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.


Veja mais:

Qunatos Números Primos Existem?
Construindo uma Sequência de Números Não-Primos
A Demonstração de Euclides Sobre a Existência de Infinitos Números Primos
Teste de Primalidade no blog Fatos Matemáticos

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2 comentários:

  1. O que não dizer de um deserto como $$70.000.000! + n$$?

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  2. O texto diz, logo no terceiro parágrafo:

    "Como a quantidade de números naturais entre dois naturais ímpares é sempre ímpar, logo, a quantidade de números não primos (ou números compostos) entre dois números primos é sempre ímpar. "

    Considere os primos 7 e 13

    Entre eles nós temos os não primos: 8, 9, 10 e 12 => 4 números (4 é par)

    Então, você quis dizer "entre dois números primos consecutivos" ?

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