16/08/2018

Uma relação envolvendo o número de ouro

Proporção áurea, número de ouro, número áureo, secção áurea, proporção de ouro, é uma constante real algébrica irracional denotada pela letra grega $\Phi$ (phi), em homenagem ao escultor Phideas (Fídias), que a teria utilizado para conceber o Parthenon, e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618.

Cera de 2.000 anos após os pitagóricos, Kepler escrevia:

"A Geometria tem dois grandes tesouros. Um deles é o Teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em média e extrema razão. O primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar de joia preciosa."


Uma relação envolvendo o número phi

Esta relação envolve a soma do inverso de $\Phi$ pelo quadrado do inverso de $\Phi$, resultando em $1$:
$$
\frac{1}{\Phi} + \frac{1}{\Phi^2} = 1 \tag{1}
$$
Começamos lembrando que o número $\Phi$ numericamente é igual a:
$$
\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618 \tag{2}
$$
Substituímos a relação $(2)$ em $(1)$, obtemos:
$$
\frac{1}{\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}} + \frac{1}{\displaystyle \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2} = 1
$$
Simplificando o numerado da primeira fração, multiplicamos o numerador pelo recíproco do denominador:
$$
\frac{2}{1+\sqrt{5}} + \frac{1}{\displaystyle \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2} = 1
$$
Aplicamos a propriedade da potenciação no denominador da segunda fração:
$$
\frac{2}{1+\sqrt{5}} + \frac{1}{\displaystyle \frac{\left(1+\sqrt{5}\right)^2}{4}} = 1
$$
Agora multiplicamos o numerador da segunda fração pelo recíproco de seu denominador:
$$
\frac{2}{1+\sqrt{5}} + \frac{4}{\displaystyle \Big(1+\sqrt{5}\Big)^2} = 1
$$
E agora desenvolvemos o produto notável no denominador:
$$
\frac{2}{1+\sqrt{5}} + \frac{4}{\displaystyle 1+5+2\sqrt{5}} = 1\\
\ \\
\frac{2}{1+\sqrt{5}} + \frac{4}{\displaystyle 6+2\sqrt{5}} = 1
$$
Para somarmos estas duas frações, devemos encontrar o mínimo múltiplo comum entre elas:
$$
\frac{2(6+2\sqrt{5}) + 4(1+\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(6+2\sqrt{5})} = 1\\
\ \\
\frac{12+4\sqrt{5} + 4+4\sqrt{5}}{6 + 2\sqrt{5}+6\sqrt{5}+10} = 1\\
\ \\
\frac{16 + 8\sqrt{5}}{16 + 8\sqrt{5}} = 1\\
\ \\
$$
Que, por fim, nos leva à igualdade:
$$
1 = 1
$$

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