16/05/2009

Equação de Torricelli

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Evangelista Torricelli nasceu em 15 de outubro de 1608 em Faenza, Itália e morreu em 25 de outubro de 1647 em Florença, Itália.

A equação de Torricelli permite calcular a velocidade final de um corpo em movimento retilíneo uniformemente variado (com aceleração constante), sem a necessidade de conhecer o tempo gasto no deslocamento.

Partimos da função horária do movimento:
$$
v = v_0 + at
$$
onde $v$ é a velocidade final em $m/s$, $v_0$ é a velocidade inicial em $m/s$, $a$ é a aceleração em $m/s^2$ e $t$ é o tempo em $s$.

Isolando o tempo, obtemos:
$$
t = \frac{v-v_0}{a} \tag{1}
$$
Tomamos a função horária da posição:
$$
x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2} at^2 \tag{2}
$$
onde $x$ é a posição final em $m$, $x_0$ é a posição inicial em $m$, $v_0$ é a velocidade inicial em $m/s$, $a$ é a aceleração em $m/s^2$ e $t$ é o tempo em $s$.

Substituímos o tempo da relação $(1)$ em $(2)$, obtendo:
$$
x = x_0+v_0 \left(\frac{v-v_0}{a}\right) + \frac{a}{2}\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2\\
\ \\
x-x_0 = \frac{v \cdot v_0-v_0^2}{a} + \frac{a}{2} \left( \frac{v^2}{a^2}-\frac{2v \cdot v_0}{a^2} + \frac{v_0^2}{a^2} \right)\\
\ \\
\Delta x = \frac{v \cdot v_0}{a} - \frac{v_0^2}{a} + \frac{v^2}{2a} - \frac{v\cdot v_0}{a} + \frac{v_0^2}{2a}
$$
Multiplicamos a equação acima por $2a$:
$$
2a \Delta x = 2a\frac{v \cdot v_0}{a} -2a \frac{v_0^2}{a} + 2a\frac{v^2}{2a} -2a \frac{v\cdot v_0}{a} + 2a\frac{v_0^2}{2a}\\
\ \\
2a \Delta x = 2v\cdot v_0 - 2v_0^2 +v^2 - 2v\cdot v_0 + v_0^2\\
\ \\
2a \Delta x = -2v_0^2 + v^2 + v_0^2\\
\ \\
2a \Delta x = v^2 - v_0^2\\
\ \\
v^2 = v_0^2 + 2a \Delta x
$$
onde $v$ é a velocidade final em $m/s$, $v_0$ é a velocidade inicial em $m/s$, $a$ é a aceleração em $m/s^2$ e $\Delta x$ é o deslocamento em $m$.

Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Equação de Torricelli. Publicado por Kleber Kilhian em 16/05/2009. URL: . Leia os Termos de uso.


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13 comentários:

  1. existe um erro na 2ª linha abaixo da palavra "Obtemos:", onde diz v-vo era para ser v.vo, fora isso, muito bom, me ajudou bastante

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  2. Olá Amigo, creio que esteja enganado, pois se:
    v = vo + at
    quando queremos isolat o tempo t, fazemos primeiramente uma subtração de vo em ambos lados:
    v - vo = vo - vo + at
    agora fica:
    v - vo = at
    para isolar o tempo t, multiplicamos ambos lados por 1/a, que fica:
    (v - vo). (1/a) = at . 1/a
    agora fica:
    (v - vo) / a = t
    que é o que pretendíamos.

    Espero ter ajudado.

    ResponderExcluir
  3. Olá Amigo,
    Fica um pouco difícil de tirar sua dúvida quando você diz não entender nada. Se você apontar exatamente o que, ficará mais fácil. Mas, para chegar à equação de Torricelli, leia os artigos na sequencia abaixo. É todo um passo-a-passo:

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/05/velocidade-instantanea.html

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/05/aceleracao.html

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/05/equacao-horaria-da-velocidade.html

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/05/equacao-do-movimento.html

    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/05/equacao-de-torricelli.html

    Espero que esclareça suas dúvidas, senão, entre em contato por e-mail.

    Um abraço!

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    Respostas
    1. Eu gostaria de saber o porque usou a equacao
      v = vo + at? Da onde saiu essa ideia e porque? Qual o conceito?
      Depois eu gostaria de saber o porque isolar o tempo t = (v - vo)/a?
      Veja eu tenho um sistema de duas equacoes para resolver, e talvez essas sejam as duas equacoes que envolvem t e a. Faltou uma explicacao da natureza fisica dessa equacao.
      Qual a importancia dessa formula? Dessa maneira as pessoas nao aprendem a raciocinar e sim a aplicar uma formula.. nao acha?

      Excluir
  4. Lotário Mariano Domingos25/05/2010, 17:05

    Olá sr.Kleber!
    Substituindo este tempo em:
    x=x0+v0(v-v0)/a+a/2(v-v0)2/a; Na linha abaixo surge um dúvida, era para ser v.v0, demais está bem claro.
    Obrigado!

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  5. Tem razão. Corrigido. Obrigado pela visita e comentário. Um abraço!

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  6. Boa demonstração. Valeu!

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  7. Amigo esse seu blog me ajudou bastante. Obrigado continue assim.

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  8. Fico feliz em saber, Sérgio.

    Um abraço!

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  9. Muito obrigada! Me ajudou muito mesmo. Parabéns pelo site

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  10. Gostei entendi a equaçao obrigado Kleber

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