A fonte luminosa do sistema solar é o Sol e por sua proximidade e extensão é o único corpo que provoca uma sombra nos corpos opacos, como os planetas e luas. Veremos neste artigo como calcular o tamanho da sombra da Terra através de semelhança de triângulos.
Os elementos de uma sombra
Quando um corpo extenso opaco é iluminado por um corpo extenso, três regiões de sombra são observados: a umbra, a penumbra e a antumbra.
A umbra (do latim: sombra) é a região da sombra que não recebe luz de nenhum ponto da fonte luminosa. Um observador dentro da umbra experimenta um eclipse total. A umbra de um corpo esférico ocluindo uma fonte luminosa forma um cone circular reto. Quando vistos do vértice do cone, os dois corpos parecem ter o mesmo tamanho .
A penumbra (do latim: quase) é a região da sombra parcialmente iluminada e o raio do cone aumenta à medida em que se afasta da fonte luminosa. Um observador na penumbra experimenta um eclipse parcial. A umbra é um subconjunto da penumbra, pois encontra-se dentro da penumbra.
A antumbra (do latim: antes) é a região da sombra a partir da qual o corpo ocludente aparece inteiramente dentro do disco da fonte de luz. Um observador nesta região experimenta um eclipse anular , no qual um anel brilhante é visível ao redor do corpo eclipsante. Se o observador se aproximar da fonte de luz, o tamanho aparente do corpo ocludente aumenta até causar uma umbra completa.
Cálculo do tamanho de uma sombra
Vamos considerar um corpo extenso e luminoso de raio $R$ que se encontra a uma distância $d$ de um corpo opaco de raio $r$. Na região localizada atrás do corpo opaco, oposto ao corpo luminoso, se forma um cone de sombra, cuja altura $H$ queremos determinar.
Podemos representar geometricamente o problema com a imagem abaixo:
onde:
- $R$ é o raio da fonte luminosa;
- $r$ é o raio do corpo opaco;
- $d$ é a distância entre os centros dos corpos;
- $H$ é a altura do cone de sombra.
Podemos calcular a altura $H$ utilizando semelhança de triângulos:
$$\frac{r}{H} = \frac{R}{d+H}\\
\ \\
RH = r(d+H)\\
\ \\
RH = rd + rH\\
\ \\
RH - rH = rd\\
\ \\
H(R-r) = r
$$
Finalmente encontrando:
$$H = \frac{rd}{R-r} \tag{1}
$$
A fórmula acima exprime o comprimento da sombra em função dos raios dos corpos e da distância entre eles.
Quanto maior a diferença entre os raios dos corpos, menos será a sombra; e a sombra aumenta conforme os corpos se afastam.
Como calcular o tamanho da sombra da Terra
Para calcularmos o comprimento da sombra da Terra (iluminada pelo Sol), vamos considerar alguns dados astronômico já consolidados:
- Raio do Sol: $R = 696.350\ km$
- Raio da Terra: $r = 6.371\ km$
- Distância média entre o Sol e Terra: $d = 149.600.000\ km$
A representação geométrica do problema é semelhante à do problema anterior:
Utilizando a fórmula para o cálculo do comprimento da sobra obtida em $(1)$, substituímos os valores dos raios do Sol e da Terra e a distância entre os corpos:
$$H = \frac{rd}{R-r}\\
\ \\
H = \frac{6.371 \times 149.600.000}{696.350 - 6.371}\\
\ \\
H = \frac{953.101.600.000}{689.979}\\
\ \\
H = 1.381.348,7\ km
$$
Assim, encontramos que a sombra umbral da Terra produzida pelo Sol mede aproximadamente 1,4 milhões de quilômetros.
Referências:
- Astronomia e Astrofísica - Kepler de Souza
- https://en.wikipedia.org/wiki/Umbra,_penumbra_and_antumbra
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