Evangelista Torricelli nasceu em 15 de outubro de 1608 em Faenza, Itália e morreu em 25 de outubro de 1647 em Florença, Itália.
A equação de Torricelli permite calcular a velocidade final de um corpo em movimento retilíneo uniformemente variado (com aceleração constante), sem a necessidade de conhecer o tempo gasto no deslocamento.
Partimos da função horária do movimento:
$$
v = v_0 + at
$$
onde $v$ é a velocidade final em $m/s$, $v_0$ é a velocidade inicial em $m/s$, $a$ é a aceleração em $m/s^2$ e $t$ é o tempo em $s$.
$$
v = v_0 + at
$$
onde $v$ é a velocidade final em $m/s$, $v_0$ é a velocidade inicial em $m/s$, $a$ é a aceleração em $m/s^2$ e $t$ é o tempo em $s$.
Isolando o tempo, obtemos:
$$
t = \frac{v-v_0}{a} \tag{1}
$$
Tomamos a função horária da posição:
$$
x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2} at^2 \tag{2}
$$
onde $x$ é a posição final em $m$, $x_0$ é a posição inicial em $m$, $v_0$ é a velocidade inicial em $m/s$, $a$ é a aceleração em $m/s^2$ e $t$ é o tempo em $s$.
$$
t = \frac{v-v_0}{a} \tag{1}
$$
Tomamos a função horária da posição:
$$
x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2} at^2 \tag{2}
$$
onde $x$ é a posição final em $m$, $x_0$ é a posição inicial em $m$, $v_0$ é a velocidade inicial em $m/s$, $a$ é a aceleração em $m/s^2$ e $t$ é o tempo em $s$.
Substituímos o tempo da relação $(1)$ em $(2)$, obtendo:
$$
x = x_0+v_0 \left(\frac{v-v_0}{a}\right) + \frac{a}{2}\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2\\
\ \\
x-x_0 = \frac{v \cdot v_0-v_0^2}{a} + \frac{a}{2} \left( \frac{v^2}{a^2}-\frac{2v \cdot v_0}{a^2} + \frac{v_0^2}{a^2} \right)\\
\ \\
\Delta x = \frac{v \cdot v_0}{a} - \frac{v_0^2}{a} + \frac{v^2}{2a} - \frac{v\cdot v_0}{a} + \frac{v_0^2}{2a}
$$
Multiplicamos a equação acima por $2a$:
$$
2a \Delta x = 2a\frac{v \cdot v_0}{a} -2a \frac{v_0^2}{a} + 2a\frac{v^2}{2a} -2a \frac{v\cdot v_0}{a} + 2a\frac{v_0^2}{2a}\\
\ \\
2a \Delta x = 2v\cdot v_0 - 2v_0^2 +v^2 - 2v\cdot v_0 + v_0^2\\
\ \\
2a \Delta x = -2v_0^2 + v^2 + v_0^2\\
\ \\
2a \Delta x = v^2 - v_0^2\\
\ \\
v^2 = v_0^2 + 2a \Delta x
$$
onde $v$ é a velocidade final em $m/s$, $v_0$ é a velocidade inicial em $m/s$, $a$ é a aceleração em $m/s^2$ e $\Delta x$ é o deslocamento em $m$.
$$
x = x_0+v_0 \left(\frac{v-v_0}{a}\right) + \frac{a}{2}\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2\\
\ \\
x-x_0 = \frac{v \cdot v_0-v_0^2}{a} + \frac{a}{2} \left( \frac{v^2}{a^2}-\frac{2v \cdot v_0}{a^2} + \frac{v_0^2}{a^2} \right)\\
\ \\
\Delta x = \frac{v \cdot v_0}{a} - \frac{v_0^2}{a} + \frac{v^2}{2a} - \frac{v\cdot v_0}{a} + \frac{v_0^2}{2a}
$$
Multiplicamos a equação acima por $2a$:
$$
2a \Delta x = 2a\frac{v \cdot v_0}{a} -2a \frac{v_0^2}{a} + 2a\frac{v^2}{2a} -2a \frac{v\cdot v_0}{a} + 2a\frac{v_0^2}{2a}\\
\ \\
2a \Delta x = 2v\cdot v_0 - 2v_0^2 +v^2 - 2v\cdot v_0 + v_0^2\\
\ \\
2a \Delta x = -2v_0^2 + v^2 + v_0^2\\
\ \\
2a \Delta x = v^2 - v_0^2\\
\ \\
v^2 = v_0^2 + 2a \Delta x
$$
onde $v$ é a velocidade final em $m/s$, $v_0$ é a velocidade inicial em $m/s$, $a$ é a aceleração em $m/s^2$ e $\Delta x$ é o deslocamento em $m$.
existe um erro na 2ª linha abaixo da palavra "Obtemos:", onde diz v-vo era para ser v.vo, fora isso, muito bom, me ajudou bastante
ResponderExcluirOlá Amigo, creio que esteja enganado, pois se:
ResponderExcluirv = vo + at
quando queremos isolat o tempo t, fazemos primeiramente uma subtração de vo em ambos lados:
v - vo = vo - vo + at
agora fica:
v - vo = at
para isolar o tempo t, multiplicamos ambos lados por 1/a, que fica:
(v - vo). (1/a) = at . 1/a
agora fica:
(v - vo) / a = t
que é o que pretendíamos.
Espero ter ajudado.
nem entedi nd
ResponderExcluirOlá Amigo,
ResponderExcluirFica um pouco difícil de tirar sua dúvida quando você diz não entender nada. Se você apontar exatamente o que, ficará mais fácil. Mas, para chegar à equação de Torricelli, leia os artigos na sequencia abaixo. É todo um passo-a-passo:
http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/05/velocidade-instantanea.html
http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/05/aceleracao.html
http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/05/equacao-horaria-da-velocidade.html
http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/05/equacao-do-movimento.html
http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/05/equacao-de-torricelli.html
Espero que esclareça suas dúvidas, senão, entre em contato por e-mail.
Um abraço!
Eu gostaria de saber o porque usou a equacao
Excluirv = vo + at? Da onde saiu essa ideia e porque? Qual o conceito?
Depois eu gostaria de saber o porque isolar o tempo t = (v - vo)/a?
Veja eu tenho um sistema de duas equacoes para resolver, e talvez essas sejam as duas equacoes que envolvem t e a. Faltou uma explicacao da natureza fisica dessa equacao.
Qual a importancia dessa formula? Dessa maneira as pessoas nao aprendem a raciocinar e sim a aplicar uma formula.. nao acha?
Olá sr.Kleber!
ResponderExcluirSubstituindo este tempo em:
x=x0+v0(v-v0)/a+a/2(v-v0)2/a; Na linha abaixo surge um dúvida, era para ser v.v0, demais está bem claro.
Obrigado!
Tem razão. Corrigido. Obrigado pela visita e comentário. Um abraço!
ResponderExcluirBlz
ResponderExcluirBoa demonstração. Valeu!
ResponderExcluirAmigo esse seu blog me ajudou bastante. Obrigado continue assim.
ResponderExcluirFico feliz em saber, Sérgio.
ResponderExcluirUm abraço!
Muito obrigada! Me ajudou muito mesmo. Parabéns pelo site
ResponderExcluirGostei entendi a equaçao obrigado Kleber
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