Vamos encontrar duas fórmulas para calcular o volume de um cilindro inscrito em um cone: uma em função do raio e outra em função da altura. Para isso, utilizaremos semelhança de triângulos. Fazemos um corte vertical passando pelo centro de ambas as bases dos sólidos:
Temos que:
- $R$ é o raio da base do cone
- $H$ é a altura do cone
- $r$ é o raio do cilindro
- $h$ é a altura do cilindro
Observando a imagem acima, o espaço entre o topo do cone e o cilindro forma um triângulo retângulo menor, semelhante ao triângulo do cone maior. Assim, temos que:
- $H-h$ é a altura desse triângulo retângulo superior, dado pela diferença entre a altura do cone e a altura do cilindro
- $r$ além do raio do cilindro, também é a base desse triângulo retângulo superior
Fórmula do volume do cone em função do raio $r$
Utilizando semelhança de triângulos, temos:
$$ \frac{H-h}{H} = \frac{r}{R} \tag{1} $$Isolamos a altura $h$:
$$ H-h = \frac{r\ H}{R}\\ \ \\ -h = \frac{r\ H}{R} - H\\ \ \\ h = H - \frac{r\ H}{R} $$ $$ h = H \left(1-\frac{r}{R}\right) \tag{2} $$A fórmula geral para um cilindro genérico é dado pela fórmula:
$$ V_\text{cilindro} = \pi\ r^2\ h \tag{3} $$Substituímos a relação $(2)$ em $(3)$:
$$ V_\text{cilindro} = \pi \ r^2 \ H \left(1-\frac{r}{R}\right)\\ $$ $$ V_\text{cilindro} = \pi \ H \left(r^2 - \frac{r^3}{R}\right) \tag{4} $$Esta é uma fórmula para calcular o volume do cilindro circunscrito ao cone em função de seu raio $r$.
Fórmula do volume do cilindro em função da altura $h$
Podemos também expressar a forma do volume do cilindro em função de sua altura $h$. Para isso, partimos da semelhança de triângulos dada em $(1)$:
$$ \frac{H-h}{H} = \frac{r}{R} $$Vamos isolar o raio $r$:
$$ r = R \left(\frac{H-h}{H}\right) $$ $$ r = R \left(1 - \frac{h}{H}\right) \tag{5} $$Substituímos $r$ na fómrula do volume do cilindro dada em $(3)$:
$$ V_\text{cilindro} = \pi\ r^2\ h\\ \ \\ V_\text{cilindro} = \pi\ \left[ R \left(1 - \frac{h}{H}\right) \right]^2\ h $$Desenvolvendo o quadrado entre colchetes, obtemos:
$$ V_\text{cilindro} = \pi\ R^2 \left(1 - \frac{2h}{H} + \frac{h^2}{H^2}\right)\ h $$ $$ V_\text{cilindro} = \pi\ R^2 \left(h - \frac{2h^2}{H} + \frac{h^3}{H^2}\right) \tag{6} $$Esta é uma fórmula para calcular o volume do cilindro circunscrito ao cone em função de sua altura $h$.
Exemplo 1:
Seja um cone de raio $R=10\ cm$ e altura $H=20\ cm$. Seja um cilindro inscrito ao cone cujo raio vale $r=5\ cm$. Determinar o volume do cilindro.
Substituímos os valores fornecidos na fórmula:
$$ V_\text{cilindro} = \pi \ H \left(r^2 - \frac{r^3}{R}\right)\\ \ \\ V_\text{cilindro} = \pi \cdot 20 \left(5^2 - \frac{5^3}{10}\right)\\ \ \\ V_\text{cilindro} = 20\ \pi \left(25 - \frac{125}{10}\right)\\ \ \\ V_\text{cilindro} = 20\ \pi \left(\frac{250 - 125}{10}\right)\\ \ \\ V_\text{cilindro} = 20\ \pi \left(\frac{125}{10}\right)\\ \ \\ V_\text{cilindro} = 250\ \pi \\ \ \\ V_\text{cilindro} \approx 785,4 \ cm^3 $$Exemplo 2:
Seja um cone circular reto de raio da base $R=15\ cm$ e altura $H=30\ cm$. Inscreve-se nesse cone um cilindro de modo que sua área lateral seja numericamente igual a $\dfrac{4}{5}$ do seu volume. Determine a altura $h$ e o volume $V$ desse cilindro utilizando a fórmula do volume em função exclusivamente de $h$.
A área lateral de um cilindro é dada por:
$$ A_L = 2\ \pi\ r\ h $$O volume do cilindro é dado por:
$$ V = \pi \ r^2\ h $$Pela condição imposta no problema, temos que:
$$ A_L = \frac{4}{5}\ V\\ \ \\ 2\ \pi \ r\ h = \frac{4}{5}\ \pi\ r^2\ h $$Simplificando, obtemos:
$$ \frac{5 \cdot 2\ \pi \ r\ h}{4\ \pi \ h} = \frac{r^2}{r}\\ \ \\ r = \frac{5}{2}\ cm $$Por semelhança de triângulos na secção do cone, através da relação $(5)$, temos:
$$ r = R\left(1 - \frac{h}{H}\right) $$Substituindo os valores $R=15$, $H=30$ e $r=\dfrac{5}{2}$, obtemos:
$$ \frac{5}{2} = 15 \left(1 - \frac{h}{30}\right)\\ \ \\ \frac{5}{30} = 1 - \frac{h}{30}\\ \ \\ \frac{1}{6} = 1 - \frac{h}{30}\\ \ \\ \frac{h}{30} = 1 - \frac{1}{6}\\ \ \\ \frac{h}{30} = \frac{5}{6}\\ \ \\ h = \frac{5 \cdot 30}{6}\\ \ \\ h = 25\ cm $$A altura do cilindro é de $h=25\ cm$.
Para calcularmos o volume em função da altura $h$, utilizamos a fórmula dada em $(6)$:
$$ V = \pi\ R^2 \left(h - \frac{2h^2}{H} + \frac{h^3}{H^2}\right) $$Substituímos os valores $R=15$, $H=30$ e $h=25$, obtendo:
$$ V = \pi\ 15^2 \left(25 - \frac{2\cdot 25^2}{30} + \frac{25^3}{30^2}\right)\\ \ \\ V = 225 \pi \left(25 - \frac{1250}{30} + \frac{15625}{900}\right)\\ \ \\ V = 225 \pi \left(25 - \frac{125}{3} + \frac{625}{36}\right)\\ \ \\ V = 225 \pi \left(\frac{900 - 1500 + 625}{36}\right)\\ \ \\ V = 225 \pi \cdot \frac{25}{36}\\ \ \\ V = \frac{625}{4}\ \pi \ cm^3\\ \ \\ V = 156,25\ \pi\ cm^3\\ \ \\ V \approx 490,87\ cm^3 $$O volume do cilindro é de aproximadamente $V=490,87\ cm^3$.
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