04/09/2010

Sobre a Esfera e o Cilindro


Arquimedes é considerado o maior dos matemáticos da antiguidade e um do maiores de todos os tempos. Nasceu em Siracusa, cidade localizada na ilha de Sicília, aproximadamente em $287\ a.C.$ e morreu durante a segunda Guerra Púnica em $212\ a.C.$.

Os trabalhos de Arquimedes exibem grande originalidade, habilidade computacional e rigor nas demonstrações. Sobre a Esfera e o Cilindro foi escrito em dois volumes e constituído de cinquenta e três proposições e trata, entre outras coisas, do teorema que fornece as áreas de uma esfera e de uma calota esférica. Mostra que a área de uma superfície esférica é exatamente dois terços da área da superfície total do cilindro circular reto circunscrito a ela e que o volume da esfera é exatamente dois terços do volume do mesmo cilindro.

Arquimedes: Sobre a esfera e o cilindro

Vamos verificar os resultados estabelecidos por Arquimedes em seu trabalho Sobre a Esfera e o Cilindro que diz:
  • O volume da esfera é $2/3$ do volume do cilindro circunscrito a ela;
  • A área de uma superfície esférica é $2/3$ da área total do cilindro que a circunscreve.

Utilizando a notação moderna, temos que a fórmula para o volume da esfera é:
$$
V_E = \frac{4}{3} \pi r^3 \tag{1}
$$
onde $V_E$ é o volume da esfera. E a fórmula para o cilindro:
$$
V_C = 2 \pi r^3 \tag{2}
$$
onde $V_C$ é o volume do cilindro.

Então fazemos:
$$
\frac{V_C}{V_E} = \frac{2\pi r^3}{\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{6\pi r^3}{4\pi r^3} = \frac{3}{2}
$$
Isso implica dizer que $2V_C = 3V_E$, ou que o volume da esfera é $2/3$ do volume do cilindro circunscrito:
$$
V_E = \frac{2}{3}\ V_C \tag{3}
$$
Para a área da esfera:
$$
A_E = 4\pi r^2 \tag{4}
$$
onde $A_E$ é a área da esfera. E para o cilindro:
$$
A_C = 6 \pi r^2 \tag{5}
$$
onde $A_C$ é a área total do cilindro, dada pela soma das áreas das bases e da área lateral.

Então, fazemos:
$$
\frac{A_C}{A_E} = \frac{6\pi r^2}{4\pi r^2} = \frac{3}{2}
$$
Isso implica em dizer que $2A_C = 3A_C$, ou que a área da esfera é $2/3$ da área do cilindro circunscrito:
$$
A_E = \frac{2}{3}\ A_C \tag{6}
$$

Referências:

  • Introdução à História da Matemática - Howard Eves

Links para este artigo:



Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Sobre a Esfera e o Cilindro. Publicado por Kleber Kilhian em 04/09/2010. URL: . Leia os Termos de uso.


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