Esta demonstração está dividida em duas partes, para melhor esclarecimento:
1) Inicialmente, vamos relembrar alguns conceitos:
a) Uma das fórmulas de Prostaférese, onde se transforma diferença de senos em produto:
b) O Limite Fundamental :
![clip_image002[4]](http://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmUKWwtKZTI/AAAAAAAABmY/w0YOMhxxK40/s1600-h/clip_image002%5B4%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[4]"){kind=small}
![clip_image002[6]](http://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmUKYGXB2sI/AAAAAAAABmg/wliqMXTTLVs/s1600-h/clip_image002%5B6%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[6]"){kind=small}
2) Seja a função seno:
f (x) = sen(x)
Do conceito de derivada temos:
![clip_image002[8]](http://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmUKZyise1I/AAAAAAAABmo/_7fxklAhqak/s1600-h/clip_image002%5B8%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[8]"){kind=small}
Então:
![clip_image002[10]](http://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmUKbE7NN_I/AAAAAAAABmw/jWqUGb_z2qQ/s1600-h/clip_image002%5B10%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[10]"){kind=small}
Aqui temos em diferença de senos. Comparando com a fórmula de prostaférese ( I ) e fazendo as devidas substituições, obtemos:
Neste momento, x passa a ser uma constante. Fazemos uma troca de variável, onde:
![clip_image002[14]](http://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmUKfRILpJI/AAAAAAAABnQ/85ATM0Ff-Dw/s1600-h/clip_image002%5B14%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[14]"){kind=small}
Então, se:
![clip_image002[16]](http://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmUKgdetQdI/AAAAAAAABnY/nAnm38Avix8/s1600-h/clip_image002%5B16%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[16]"){kind=small}
Então:
![clip_image002[18]](http://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmUKhYVsI_I/AAAAAAAABng/zVgFXfipDlI/s1600-h/clip_image002%5B18%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[18]"){kind=small}
Portanto:
![clip_image002[20]](http://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmUKidEjfII/AAAAAAAABno/Op4yYwz2_fk/s1600-h/clip_image002%5B20%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[20]"){kind=small}
![clip_image004[4]](http://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmUKjvle_aI/AAAAAAAABnw/WiMlckeb-s8/s1600-h/clip_image004%5B4%5D%5B2%5D.gif "clip_image004[4]"){kind=small}
Aplicando o limite de t, obtemos:
![clip_image002[22]](http://lh6.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmUKkjFmNFI/AAAAAAAABn4/Fs_OEzc4jtw/s1600-h/clip_image002%5B22%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[22]"){kind=small}
Portanto:
![clip_image002[24]](http://lh5.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmUKmo8J_oI/AAAAAAAABoI/jkYjZ84rXkA/s1600-h/clip_image002%5B24%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[24]"){kind=small}
Conclusão:
Se:
![clip_image002[26]](http://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmUKnhcs1oI/AAAAAAAABoQ/Z4tw_-A_IhA/s1600-h/clip_image002%5B26%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[26]"){kind=small}
![clip_image004[8]](http://lh4.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmUKoqwIB3I/AAAAAAAABoY/F2i5vgl1KrI/s1600-h/clip_image004%5B8%5D%5B2%5D.gif "clip_image004[8]"){kind=small}
e:
![clip_image002[28]](http://lh3.ggpht.com/_Qmjqb2Gk9no/SmUKpqBrsDI/AAAAAAAABog/THSYsAflBiA/s1600-h/clip_image002%5B28%5D%5B2%5D.gif "clip_image002[28]"){kind=small}
Veja mais:
Demonstração da Derivada a Função Cosseno
Demonstração da Derivada da Função Exponencial
Demonstração da Derivada da Função Logarítmica
Demonstração da Derivada da Função Produto
Demonstração da Derivada da Função Quociente
Evitando o uso de prostaferese, poderíamos fazer uso da definição de derivada para f(x) = sen(x), em que sen(x+dx)=senx.cosdx+sendx.cosx e tomar em evidência o fator comum senx, poupando a necessidade de uma substituição já que teríamos a soma das parcelas senx(cosdx-1)/dx e sendx.cosx/dx, no limite em que dx -> 0. Dos limites trigonométricos fundamentais, a primeira parcela tende a 0 e a segunda a cosx, de onde se tem que sen'(x) = cosx.
ResponderExcluirAmigo esse fator comum senx eu não vi...
ResponderExcluirAmigo entendi o fato é que F'(x)= (Sen(X+DX)-SenX)/DX com DX->0 ou seja Senx fica em evidência... Mais simplificado mesmo.
ResponderExcluirGostei das demonstrações usando a prostaférese. Muito boas, mas precisam de alguma maturidade matemática para serem compreendidas.
ResponderExcluirCreio que no momento da comparação com a fórmula de prostaférese (I), no númerador haja uma multiplicação ao invés de subtração.
ResponderExcluirE parabéns pelo blog. Aqui encontro a resposta a várias questões que tenho em aula, mas que meu professor não tem tempo de explicar devido ao cronograma corrido.
Olá amigo. Bem observado. Já corriji a multiplicação. Agradeço sua visita, elogios e por ter me avisado sobre o erro.
ResponderExcluirUm abraço!
Mas por que mesmo o seno de dx sobre dx, quando dx tende a zero, é igual a 1?
ResponderExcluirVeja uma demonstração neste vídeo:
Excluirhttp://www.youtube.com/watch?v=K-yXOjr-arE
Abraços.
Olá...
ResponderExcluirNo finalzinho em:
"Aplicando o limite de t, obtemos:"
$$\displaystyle\underset{t\rightarrow0}{\lim }\cos(t+x)=x $$
era para ser:
$$\displaystyle\underset{t\rightarrow0}{\lim }\cos(t+x)=\cos(x) $$
Olá! Bem observado. Já corrigi. Um abraço.
ResponderExcluirObrigado, muito útil! Abraço.
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