Esta demonstração está dividida em duas partes, para melhor esclarecimento:
1) Inicialmente, vamos relembrar alguns conceitos:
a) Uma das fórmulas de Prostaférese, onde se transforma diferença de senos em produto:

b) O Limite Fundamental :
2) Seja a função seno:
f (x) = sen(x)
Do conceito de derivada temos:
Então:
Aqui temos em diferença de senos. Comparando com a fórmula de prostaférese ( I ) e fazendo as devidas substituições, obtemos:
Neste momento, x passa a ser uma constante. Fazemos uma troca de variável, onde:
Então, se:
Então:
Portanto:
Aplicando o limite de t, obtemos:
Portanto:
Conclusão:
Se:
e:
Veja mais:
Demonstração da Derivada a Função Cosseno
Demonstração da Derivada da Função Exponencial
Demonstração da Derivada da Função Logarítmica
Demonstração da Derivada da Função Produto
Demonstração da Derivada da Função Quociente
Evitando o uso de prostaferese, poderíamos fazer uso da definição de derivada para f(x) = sen(x), em que sen(x+dx)=senx.cosdx+sendx.cosx e tomar em evidência o fator comum senx, poupando a necessidade de uma substituição já que teríamos a soma das parcelas senx(cosdx-1)/dx e sendx.cosx/dx, no limite em que dx -> 0. Dos limites trigonométricos fundamentais, a primeira parcela tende a 0 e a segunda a cosx, de onde se tem que sen'(x) = cosx.
ResponderExcluirAmigo esse fator comum senx eu não vi...
ResponderExcluirAmigo entendi o fato é que F'(x)= (Sen(X+DX)-SenX)/DX com DX->0 ou seja Senx fica em evidência... Mais simplificado mesmo.
ResponderExcluirGostei das demonstrações usando a prostaférese. Muito boas, mas precisam de alguma maturidade matemática para serem compreendidas.
ResponderExcluirCreio que no momento da comparação com a fórmula de prostaférese (I), no númerador haja uma multiplicação ao invés de subtração.
ResponderExcluirE parabéns pelo blog. Aqui encontro a resposta a várias questões que tenho em aula, mas que meu professor não tem tempo de explicar devido ao cronograma corrido.
Olá amigo. Bem observado. Já corriji a multiplicação. Agradeço sua visita, elogios e por ter me avisado sobre o erro.
ResponderExcluirUm abraço!
Mas por que mesmo o seno de dx sobre dx, quando dx tende a zero, é igual a 1?
ResponderExcluirVeja uma demonstração neste vídeo:
Excluirhttp://www.youtube.com/watch?v=K-yXOjr-arE
Abraços.
Olá...
ResponderExcluirNo finalzinho em:
"Aplicando o limite de t, obtemos:"
$$\displaystyle\underset{t\rightarrow0}{\lim }\cos(t+x)=x $$
era para ser:
$$\displaystyle\underset{t\rightarrow0}{\lim }\cos(t+x)=\cos(x) $$
Olá! Bem observado. Já corrigi. Um abraço.
ResponderExcluirObrigado, muito útil! Abraço.
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