Demonstração da derivada da função quociente

Através da regra do quociente, podemos calcular a deriva do quociente entre duas ou mais funções. Para demonstrar a derivada da função quociente, utilizamos a regra da derivada do produto. Seja a função quociente:

$$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \tag{1}$$

Vamos manipular essa igualdade de modo a isolar $u(x)$:

$$u(x) = f(x) \cdot v(x)$$

No segundo membro da igualdade temos um produto entre as funções $f(x)$ e $v(x)$. Aplicamos a regra do produto para derivadas:

$$u^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) \cdot v(x) + v^{\prime}(x) \cdot f(x) \tag{2}$$

Substituindo $(1)$ em $(2)$, obtemos:

$$u^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) \cdot v(x) + v^{\prime}(x) \cdot \frac{u(x)}{v(x)}\\ \ \\ u^{\prime}(x) = \frac{f^{\prime}(x)\cdot v^2(x)+v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v(x)}\\ \ \\ u^{\prime}(x) \cdot v(x) = f^{\prime}(x) \cdot v^2(x) + v^{\prime}(x) \cdot u(x)\\ \ \\ f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x) - v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v^2(x)}$$

Ou como comumente costumamos ver:

$$f^{\prime} = \frac{u^{\prime}\ v - u\ v^{\prime}}{v^2}$$

Exemplo 1:

Vamos calcular a derivada do quociente $f(x) = \cfrac{x^2}{1+2x}$.

Primeiramente identificamos as funções e suas derivadas. Fazemos $u=x^2$ e sua derivada será $u^{\prime} = 2x$; e fazemos $v=1+2x$ e sua derivada será $v^{\prime} = 2$. Em seguida, aplicamos na fórmula da regra do quociente:

$$f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x) - v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v^2(x)}\\ \ \\ f^{\prime}(x) = \frac{2x \cdot (1+2x) - 2 \cdot x^2}{(1+2x)^2}\\ \ \\ f^{\prime}(x) = \frac{2x + 4x^2-2x^2}{1+4x+4x^2}\\ \ \\ f^{\prime} (x)= \frac{2x+2x^2}{1+4x+4x^2}$$

Ou colocamos de forma fatorada:

$$f^{\prime}(x) = \frac{2x(1+x)}{(1+2x)^2}$$

Exemplo 2:

Vamos calcular a derivada do quociente $f(x) = \cfrac{x^3-4x}{x^2+1}$.

Primeiramente identificamos as funções e suas derivadas. Fazemos $u=x^3-4x$ e sua derivada será $u^{\prime} = 3x^2-4$; e fazemos $v=x^2+1$ e sua derivada será $v^{\prime} = 2x$. Em seguida, aplicamos na fórmula da regra do quociente:

$$f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x) - v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v^2(x)}\\ \ \\ f^{\prime}(x) = \frac{(3x^2-4)(x^2+1)-(x^3-4x)(2x)}{(x^2+1)^2}\\ \ \\ f^{\prime} (x)= \frac{3x^4+3x^2-4x^2-4-2x^4+8x^2}{(x^2+1)^2}\\ \ \\ f^{\prime}(x) = \frac{x^4+7x^2-4}{(x^2+1)^2}$$

Exemplo 3:

Vamos calcular a derivada do quociente $f(x) = \cfrac{\text{sen}(x)}{x^4}$.

Primeiramente identificamos as funções e suas derivadas. Fazemos $u=\text{sen}(x)$ e sua derivada será $u^{\prime} = \cos(x)$; e fazemos $v=x^4$ e sua derivada será $v^{\prime} = 4x^3$. Em seguida, aplicamos na fórmula da regra do quociente:

$$f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x) - v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v^2(x)}\\ \ \\ f^{\prime}(x) = \frac{\cos(x) \cdot x^4 - \text{sen}(x) \cdot 4x^3}{\left(x^4\right)^2}\\ \ \\ f^{\prime}(x) = \frac{x^3(x\cos(x) - 4\ \text{sen}(x)}{x^8}\\ \ \\ f^{\prime}(x) = \frac{x \cos(x)-4\ \text{sen}(x)}{x^5}$$

Links para este artigo:

• https://bit.ly/derivada-funcao-quociente
  
• https://www.obaricentrodamente.com/2021/09/demonstracao-da-derivada-da-funcao-quaciente.html

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