18/07/2009

Demonstração da Derivada da Função Quociente

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Através da regra do quociente, podemos calcular a deriva do quociente entre duas ou mais funções. Para demonstrar a derivada da função quociente, utilizamos a regra da derivada do produto. Seja a função quociente:
$$
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \tag{1}
$$
Vamos manipular essa igualdade de modo a isolar $u(x)$:
$$
u(x) = f(x) \cdot v(x)
$$
No segundo membro da igualdade temos um produto entre as funções $f(x)$ e $v(x)$. Aplicamos a regra do produto para derivadas:
$$
u^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) \cdot v(x) + v^{\prime}(x) \cdot f(x) \tag{2}
$$
Substituindo $(1)$ em $(2)$, obtemos:
$$
u^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) \cdot v(x) + v^{\prime}(x) \cdot \frac{u(x)}{v(x)}\\
\ \\
u^{\prime}(x) = \frac{f^{\prime}(x)\cdot v^2(x)+v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v(x)}\\
\ \\
u^{\prime}(x) \cdot v(x) = f^{\prime}(x) \cdot v^2(x) + v^{\prime}(x) \cdot u(x)\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x) - v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v^2(x)}
$$
Ou como comumente costumamos ver:
$$
f^{\prime} = \frac{u^{\prime}\ v - u\ v^{\prime}}{v^2}
$$

Exemplo 1:

Vamos calcular a derivada do quociente $f(x) = \cfrac{x^2}{1+2x}$.

Primeiramente identificamos as funções e suas derivadas. Fazemos $u=x^2$ e sua derivada será $u^{\prime} = 2x$; e fazemos $v=1+2x$ e sua derivada será $v^{\prime} = 2$. Em seguida, aplicamos na fórmula da regra do quociente:
$$
f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x) - v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v^2(x)}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{2x \cdot (1+2x) - 2 \cdot x^2}{(1+2x)^2}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{2x + 4x^2-2x^2}{1+4x+4x^2}\\
\ \\
f^{\prime} (x)= \frac{2x+2x^2}{1+4x+4x^2}
$$
Ou colocamos de forma fatorada:
$$
f^{\prime}(x) = \frac{2x(1+x)}{(1+2x)^2}
$$

Exemplo 2:

Vamos calcular a derivada do quociente $f(x) = \cfrac{x^3-4x}{x^2+1}$.


Primeiramente identificamos as funções e suas derivadas. Fazemos $u=x^3-4x$ e sua derivada será $u^{\prime} = 3x^2-4$; e fazemos $v=x^2+1$ e sua derivada será $v^{\prime} = 2x$. Em seguida, aplicamos na fórmula da regra do quociente:
$$
f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x) - v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v^2(x)}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{(3x^2-4)(x^2+1)-(x^3-4x)(2x)}{(x^2+1)^2}\\
\ \\
f^{\prime} (x)= \frac{3x^4+3x^2-4x^2-4-2x^4+8x^2}{(x^2+1)^2}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{x^4+7x^2-4}{(x^2+1)^2}
$$

Exemplo 3:

Vamos calcular a derivada do quociente $f(x) = \cfrac{\text{sen}(x)}{x^4}$.

Primeiramente identificamos as funções e suas derivadas. Fazemos $u=\text{sen}(x)$ e sua derivada será $u^{\prime} = \cos(x)$; e fazemos $v=x^4$ e sua derivada será $v^{\prime} = 4x^3$. Em seguida, aplicamos na fórmula da regra do quociente:
$$
f^{\prime}(x) = \frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x) - v^{\prime}(x) \cdot u(x)}{v^2(x)}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{\cos(x) \cdot x^4 - \text{sen}(x) \cdot 4x^3}{\left(x^4\right)^2}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{x^3(x\cos(x) - 4\ \text{sen}(x)}{x^8}\\
\ \\
f^{\prime}(x) = \frac{x \cos(x)-4\ \text{sen}(x)}{x^5}
$$



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Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Demonstração da Derivada da Função Quociente. Publicado por Kleber Kilhian em 18/07/2009. URL: . Leia os Termos de uso.


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11 comentários:

  1. Muitooo bom .. me ajudou bastante!

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  2. podia deixar exemplos com numeros neh!

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  3. Veja um exemplo:

    $y = \dfrac{x^3-4x}{x^2+1}$
    $y\prime = \dfrac{(x^3-4x)\prime (x^2+1)-(x^3-4x)(x^2+1)\prime }{(x^2+1)^2}$
    $y\prime = \dfrac{(3x^2-4)(x^2+1)-(x^3-4x)(2x)}{(x^2+1)^2}$
    $y\prime = \dfrac{x^4+7x^2-4}{(x^2+1)^2}$

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    1. Oi, eu me perdi completamente na resolução. Na última y'. Pode me explicar como resolveu?

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    2. Da penúltima para a última $y^\prime$ foi aplicado a distributiva e simplificado:
      \begin{equation*}
      y^\prime = \frac{3x^4 + 3x^2 - 4x^2 -4 - 2x^4 +8x^2}{(x^2+1)^2}\\
      \ \\
      y^\prime = \frac{x^4 + 7x^2 - 4}{(x^2+1)^2}\\
      \end{equation*}

      Excluir
  4. Excelente, meus parabéns, ajudou pra valer!

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  5. como ficaria essa função
    f(x)=(-x^3+2x^2)^2/(-x^2+3x)^2
    a) a sua derivada
    b) o seu valor quando x valer -2

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    Respostas
    1. Olá Tiago. Veja que é um quociente de duas funções compostas. Sendo assim, aplica-se a regra do quociente e também a regra da cadeia.

      $$f(x)=\frac{(2x^2-x^3)^2}{(3x-x^2)^2}$$
      Devemos aplicar a regra da cadeia. Fazemos:
      $$u=(2x^2-x^3)^2$$
      $$u'=2(2x^2-x^3)(4x-3x^2)$$
      fatorando, obtemos:
      $$u'=2x^3(3x^2-10x+8)$$
      $$v=(3x-x^2)^2$$
      $$v'=2(3x-x^2)(3-2x)$$
      Fatorando, obtemos:
      $$v'=2x(2x^2-9x+9)$$

      E para $v^2$, temos:

      $$v^2=[(3x-x^2)^2]^2=(3x-x^2)^4$$

      Basta aplicarmos na regra do quociente:

      $$f'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$
      $$f'=\frac{2x^3(3x^2-10x+8)(3x-x^2)^2-2x(2x^2-9x+9)(2x^2-x^3)^2}{(3x-x^2)^4}$$
      Neste ponto já está derivada, mas tem que fazer as manipulações algébricas para deixá-la mais arrumadinha. Depois, basta substituir o valor de $x$ por $2$ e calcular o resultado. Verá que $f(2)=0$

      Um abraço.

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  6. Anônimo4/5/16 21:54

    como ficaria a derivada pela regra do cociente f(x)= x^3 + 15/ x^3 - 5x

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    Respostas
    1. Seja $f(x)=\displaystyle \frac {x^3+15}{x^3-5x}$. Temos que:
      $$ u=x^3+15 \Rightarrow u'=3x^2$$
      $$ v=x^3-5x \Rightarrow v'= 3x^2-5$$
      Então a derivada será;:
      $$ f'(x) = \frac {3x^2 (x^3-5x)-(x^3+15)(3x^2-5)}{(x^3-5x)^2}$$
      $$=\frac{3x^5-15x^3-3x^5+5x^3-45x^2+125}{x^2 (x^2-5)^2} $$
      $$=-\frac {5 (2x^3+9x^2-15}{x^2 (x^2-5)^2} $$

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  7. Parabéns pela explicação.

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