O que são polinômios idênticos?

O que são polinômios idênticos?

Dois polinômios são ditos idênticos (ou iguais) se, e somente se, assumem valores numéricos iguais para todo $x$ complexo. Em linguagem matemática, escrevemos como:

$$
p=q \Longleftrightarrow p(x) \equiv q(x), \quad \forall \ x \in \mathbb{C}
$$

Isso implica em dizer, e se faz necessário, que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais, ou seja, que os coeficientes das variáveis de mesma potência sejam iguais.

Teorema:

Dois polinômios $p(x)$ e $q(x)$ são idênticos (ou iguais) se, e somente se, os coeficientes de $p(x)$ e $q(x)$ forem ordenadamente iguais.

Temos que:

$$
p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n = \sum_{i=0}^n a_ix^i
$$

e

$$
q(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + \cdots + b_nx^n = \sum_{i=0}^n b_ix^i
$$

Assim:

$$
p(x) \equiv q(x) \Longleftrightarrow a_i = b_i , \quad \forall \ i \in \{0,1,2,3,\cdots \}
$$

Demonstração:

Para todo $x$ pertencente aos complexos, temos que:

$$
a_i=b_i \\
\ \\
a_i-b_i = 0\\
\ \\
(a_i - b_i)x^i=0\\
\ \\
\sum_{i=0}^n(a_i-b_i)x^i = 0\\
\ \\
\sum_{i=0}^n a_ix^i - \sum_{i=0}^n b_ix^i = 0\\
\ \\
\sum_{i=0}^n a_ix^i = \sum_{i=0}^n b_ix^i\\
\ \\
p(x) \equiv q(x)
$$

Exemplo 1:

Sejam $p(x)=2x^2-x-1$ e $q(x)=(2x+1)(x-1)$. Verificar se $p(x)$ e $q(x)$ são idênticos.

Iniciamos efetuando a multiplicação entre os fatores que compõem $q(x)$:

$$
q(x) = (2x+1)(x-1)\\
\ \\
q(x) = 2x^2-2x+x-1\\
\ \\
q(x) = 2x^2-x-1
$$

Assim:

\begin{cases}
p(x) = 2x^2 - x - 1\\
\ \\
q(x) = 2x^2 - x -1
\end{cases}

Podemos ver que os coeficientes das variáveis de mesmo expoentes são iguais, logo os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ são idênticos.

Exemplo 2:

Sejam $p(x)=4x^3+7x^2-3x$ e $q(x)=(a+b)x^3+(2a+b)x^2-(3b)x$. Encontrar valores para $a$ e $b$ para que os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ sejam idênticos.

Temos que:

\begin{cases}
p(x) = 4x^3+7x^2-3x\\
\ \\
q(x)=(a+b)x^3+(2a+b)x^2-(3b)x
\end{cases}A condição para que dois polinômios sejam idênticos é que os coeficientes das variáveis de mesmo expoente sejam iguais. Assim:

\begin{cases}
4 = a+b\\
\ \\
7 = 2a+b\\
\ \\
3 = 3b\\
\end{cases}

Como é um caso simples, podemos calcular os valores de $a$ e $b$ isolando uma variável de uma equação e substituindo na outra. Isolemos a última, que já nos fornece o valor de $b=1$. Agora, substituímos na primeira equação:

$$
a+b = 4\\
\ \\
a+1=4\\
\ \\
a=3
$$

Podemos substituir os valores de $a$ e $b$ na segunda equação apenas para verificação:

$$
2a+b=7\\
\ \\
2(3)+1=7\\
\ \\
7=7
$$

Assim, para que os polinômios $p(x)$ e $q(x)$ sejam idênticos, os parâmetros $a$ e $b$ devem assumir valores iguais a $a=3$ e $b=1$.

Exemplo 3:

Uma aplicação interessante sobre igualdade entre polinômios é quando temos que decompor um quociente contendo polinômios em uma soma de frações parciais (muito utilizado em Cálculo Integral no estudo de Frações Parciais), ou seja, em uma soma de frações mais simples.

Seja $f(x)= \cfrac{x+1}{x^3+x^2-6x}$. Decompor $f(x)$ em uma soma de frações parciais.

Iniciamos fatorando o denominador:

$$
x^3+x^2-6x = x(x-2)(x+3)
$$

Agora, reescrevemos  o quociente como:

$$
\cfrac{x+1}{x^3+x^2-6x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+3}
$$

onde $A$, $B$ e $C$ são constantes a serem calculadas.

Calculamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores, obtendo:

$$
x+1 = A(x-2)(x+3) + B(x)(x+3) + C(x)(x-2)\\
\ \\
x+1 = A(x^2+3x-2x-6) + B(x^2+3x) + C(x^2-2x)\\
\ \\
x+1 = Ax^2+Ax-Ä+Bx^2+3Bx+Cx^2-2Cx\\
\ \\
x+1 = (A+B+C)x^2 + (A+3B +C)x - 6A
$$

Agora, utilizamos a condição de que dois polinômios são iguais se os coeficientes das variáveis de mesmo expoente são iguais. Assim, fazemos:

\begin{cases}
& A & + & B & + & C & = & 0\\
& A & + & 3B& - & 2C& =& 1\\
-&6A&&&&&= &1&
\end{cases}

Encontramos um sistema de equações. Aqui você pode utilizar o método que desejar, mas vamos aplicar o escalonamento ou método de eliminação de Gauss. O objetivo é transformar o sistema atual em um sistema triangular superior. Iniciamos trocando as posições da primeira com a terceira incógnita pois já nos trará o valor de $A$:

\begin{cases}
& C & + & B & + & A & = & 0\\
-& 2C & + & 3B& + & A& =& 1\\
&&&&-&6A&= &1&
\end{cases}

Vamos eliminar a incógnita $C$ da segunda equação. Multiplicamos a primeira equação por 2 e somamos à segunda:

\begin{cases}
& C & + & B & + & A & = & 0\\
& & & 5B& + & 3A& =& 1\\
&&&&-&6A&= &1&
\end{cases}

Da terceira equação, obtemos:

$$
A = -\cfrac{1}{6}
$$

Substituindo $A$ na segunda equação, obtemos:

$$
5B + 3A = 1\\
\ \\
5B + 3\left(-\cfrac{1}{6}\right) = 1\\
\ \\
5B = 1 + \cfrac{1}{2}\\
\ \\
5B = \cfrac{3}{2}\\
\ \\
B = \cfrac{3}{10}
$$

E, finalmente, substituímos $A$ e $B$ na primeira equação:

$$
C + B + A = 0\\
\ \\
C + \frac{3}{10} - \frac{1}{6} = 0\\
\ \\
C = -\frac{2}{15}
$$

Assim, encontramos os valores dos coeficientes $A$, $B$ e $C$ para transformar o quociente inicial em uma soma de frações parciais:

$$
\cfrac{x+1}{x^3+x^2-6x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+3}\\
\ \\
\cfrac{x+1}{x^3+x^2-6x} = \frac{\left(-\cfrac{1}{6}\right)}{x} + \frac{\cfrac{3}{10}}{x-2} + \frac{\left(-\cfrac{2}{15}\right)}{x+3}\\
\ \\
\cfrac{x+1}{x^3+x^2-6x} = -\frac{1}{6x} + \frac{3}{10x-20} - \frac{2}{15x+45}
$$

Referências:

• Fundamentos de Matemática Elementar V6 - Gelson Iezzi

Links para este artigo:

• https://bit.ly/polinomios-identicos
  
• https://www.obaricentrodamente.com/2021/12/polinomios-identicos.html
  

Veja mais:

• Escalonamento ou método de eliminação de Gauss
  
• Como efetuar a multiplicação entre polinômios
  
• Teorema da decomposição de polinômios
  
• Caneta Bézier, edição de imagens vetoriais em Matemática no blog do Professor Edigley Alexandre