O surgimento do grau na circunferência

Os povos antigos, milhares de anos antes de Cristo, viviam quase exclusivamente do cultivo da terra. Para determinar os melhores períodos de plantio e colheita, eles se guiavam pelo movimento dos astros no céu. Assim, da necessidade de estudar o movimento do Sol, da Lua, dos Planetas e das estrelas, surgiu uma das mais antigas ciências: a Astronomia.

Para o desenvolvimento da astronomia, os conhecimentos de Geometria eram essenciais. Assim, estudando o movimento dos corpos celestes, os sábios acabaram descobrindo muitas propriedades dos ângulos, dos triângulos e de outras figuras geométricas.

Um desses sábios foi o grego Hiparco de Nicéia, que viveu por volta de $180\ a.C.$ a $125\ a.C.$. É considerado o pai da trigonometria, pois na segunda metade do século $II\ a.C.$ escreveu um tratado composto de doze livros, construindo talvez a primeira tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas.

Hiparco desenvolveu estes cálculos para aplicá-los em seus estudos sobre Astronomia. Na época, acreditava-se que o Sol, a Lua e os planetas movimentavam-se sobre uma circunferência cujo centro era a Terra. Assim, percebendo a necessidade de medir uma circunferência e seus arcos, Hiparco dividiu-a em $360$ partes iguais, criando a unidade que conhecemos até hoje como grau, simbolizado por $[\ ^\circ \ ]$.

Não se sabe com certeza se ele foi o primeiro a fazer isso, mas os registros históricos apontam que sim. Muito provavelmente ele foi influenciado pelos conhecimentos dos babilônios, que contavam o ano como um período de $360$ dias ($12$ meses de $30$ dias cada).

Observando a figura acima, notamos que um arco de $1^\circ$ já é bem pequeno. Porém, para a Astronomia, que trabalha com circunferências muito grandes e necessita de bastante precisão nas medidas, foi necessário criar unidades ainda menores que o grau.

Um arco de $1^\circ$ foi dividido em $60$ partes iguais, e cada parte passou a representar um arco de um minuto, simbolizado por $1^\prime$.

Por sua vez, cada arco de um minuto também foi dividido em $60$ partes iguais, cada uma delas correspondendo a um arco de segundo, simbolizado por $1^{\prime \prime}$. Em resumo, temos:

$$
1^\circ = 60^\prime\\
\ \\
1^\prime = 60^{\prime \prime}\\
\ \\
1^\circ = 60^\prime = 3.600^{\prime \prime}
$$

Apesar de usarmos os mesmo nomes (minutos e segundos), as subdivisões do grau não tem nenhuma relação com as subdivisões da hora, utilizada para medir o tempo. Por isso seus símbolos são diferentes e não devem ser confundidos.

\begin{matrix}
\text{Tempo: } & h & , & min & , & s\\
\ \ \  \ \text{Arco: } & ^\circ & , & ^\prime & , & ^{\prime \prime}
\end{matrix}

Nas operações de adição, subtração, multiplicação e divisão envolvendo medidas de arcos em graus, procedemos como nas operações com medidas de tempo, já que ambas as duas medidas são feitas em base sexagesimal.

Exemplo 1:

Vamos efetuar a soma das medidas dos ângulos: $63^\circ38^\prime + 22^\circ 52^\prime$.

Primeiramente armamos a adição e somamos os graus e minutos:

\begin{matrix}
  &63^\circ 38^\prime\\
+ &22^\circ 52^\prime\\
\hline
  &85^\circ 90^\prime
\end{matrix}
Como $90^\prime$ é maior que $1^\circ$, dividimos por $60$, obtendo $1^\circ$ e restando $30^\prime$. Logo, $90^\prime$ é igual a $1^\circ 30^\prime$.

Desta forma, somamos $1^\circ 30^\prime$ com $85^\circ$:

\begin{matrix}
  &\ 85^\circ \ \ \ \ \ \    \\
+ &\ \ 1^\circ 30^\prime\\
\hline
  &86^\circ 30^\prime
\end{matrix}

Assim, $63^\circ38^\prime + 22^\circ 52^\prime = 86^\circ 30^\prime$.

Exemplo 2:

Vamos efetuar a subtração das medidas de ângulos: $30^\circ 10^\prime - 5^\circ 50^\prime$.

Armando a subtração, vemos que nao é possível subtrair $50^\prime$ de $10^\prime$:

\begin{matrix}
  &\ 30^\circ 10^\prime \\
- &\ \ 5^\circ 50^\prime \\
\hline
\end{matrix}
Assim, lembrando que $1^\circ$ é igual a $60^\prime$, reescrevemos a medida como:
\begin{matrix}
  &\ 29^\circ 70^\prime \\
- &\ \ 5^\circ 50^\prime \\
\hline

\end{matrix}

Agora, subtraímos os minutos e, em seguida, os graus:

\begin{matrix}
  &\ 29^\circ 70^\prime \\
- &\ \ 5^\circ 50^\prime \\
\hline
  &\ 24^\circ 20^\prime
\end{matrix}

Assim, $30^\circ 10^\prime - 5^\circ 50^\prime = 24^\circ 20^\prime$.

Referências:

• Manual do Professor de Matemática - Anglo

Links para este artigo:

• http://bit.ly/grau-circunferencia
• https://www.obaricentrodamente.com/2013/02/o-surgimento-do-grau-na-circunferencia.html

Veja mais:

• A Astronomia e os astrônomos da Grécia Antiga
• O movimento de precessão da Terra
• O que é e como calcular um ano-luz