09/02/2013

Integrais Impróprias com Limites Finitos

Quando escrevemos uma integral definida como:
\begin{equation}
\int_a^b f(x)dx
\end{equation}
admitimos que o limite de integração são números finitos e que o integrando $f(x)$ é uma função contínua no intervalo limitado $a \leq x \leq b$. Sua representação gráfica é a área sob a curva:
Para calcularmos uma área de regiões ilimitadas, temos que utilizar as integrais impróprias. Considere, por exemplo, a região $R$ sob a curva da equação $\displaystyle y = \frac{1}{x^2}$:

Observe que a região $R$ se estende indefinidamente para a direita de $x=1$. Seja $R_u$ a região limitada sob a curva de $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}$, entre $x=1$ e $x=u$:

A área da região $R_u$ é dada por:
\begin{equation}
\int_a^u \frac{1}{x^2}dx = \left[-\frac{1}{x} \right]_1^u=1-\frac{1}{u}
\end{equation}
Quando $u$ cresce, a região limitada $R_u$ pode ser considerada como uma boa aproximação da região ilimitada $R$. Isso no induz a escrever:
\begin{equation}
R=\lim _{u \rightarrow +\infty} R_u
\end{equation}
O que nos leva a:
\begin{equation}
R=\lim _{u \rightarrow +\infty} R_u = \lim_{u \rightarrow +\infty}\left(1-\frac{1}{u}\right) = 1\: \text{unidades de área}
\end{equation}
Geralmente, se $f$ é uma função definida num intervalo da forma $[a, +\infty)$ e se $f(x)\geq 0$ é válido quando $x \geq a$, definimos a área da região limitada sob a curva de $f$ e à direita de $x=a$ como:
\begin{equation*}
R=\lim_{u \rightarrow +\infty} \int_a^u f(x)dx
\end{equation*}
Frequentemente representamos esta área simplesmente por:
\begin{equation}
\int_a^{+\infty} f(x)dx
\end{equation}

Definição 1: Integrais impróprias com limite superior infinito

Seja $f$ uma função definida pelo menos no intervalo infinito $[a, +\infty)$. Suponha que $f$ seja integrável no intervalo fechado $[a, u]$ para todos os valores de $u$. Então definimos:
\begin{equation}
\int_a^{+\infty} f(x)dx=\lim_{u \rightarrow \infty} \int_a^u f(x)dx
\end{equation}
Se o limite existe e tem um valor finito, a integral imprópria diz-se convergente e esse valor é atribuído a ele. Caso contrário, a integral é chamada divergente.

Se $f(x)\geq 0$, então a expressão dada em $(5)$ pode ser tomada como a área da região ilimitada representada na figura 3.

Exemplo $1$: $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x}$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u \rightarrow +\infty} \int_1^u \frac{dx}{x}=\lim_{u \rightarrow + \infty}\left[ \ln (x)\right]_1^u = \lim_{u \rightarrow +\infty} \ln (u) = +\infty
\end{equation*}
Esta integral diverge porque o limite é infinito.

Exemplo $2$: $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^3}$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u \rightarrow +\infty} \int_1^u \frac{dx}{x^3}=\lim_{u \rightarrow + \infty}\left[ -\frac{1}{2x^2}\right]_1^u = \lim_{u \rightarrow +\infty}\left[-\frac{1}{2u^2}+\frac{1}{2}\right]
\end{equation*}

Exemplo $3$: $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-x}dx$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u \rightarrow +\infty}\int_0^{u} e^{-x}dx = \lim_{u \rightarrow +\infty} \left[-e^{-x}\right]_0^u=\lim_{u\rightarrow +\infty}\left(-\frac{1}{e^u}+1\right)=1
\end{equation*}
Esta integral imprópria é convergente porque o limite existe e é finito.

Exemplo $4$: $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u\rightarrow +\infty} \int_1^{u}\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{u\rightarrow +\infty} \left[\arctan(x)\right]_0^u\\
I=\lim_{u\rightarrow +\infty} \left[\arctan(u)-\arctan(0)\right]=\lim_{u\rightarrow +\infty} \arctan(u)=\frac{\pi}{2}
\end{equation*}
Essa integral imprópria é convergente porque o limite existe e é finito.

Exemplo $5$: $\displaystyle \int_{-\infty}^0 e^{-x}dx$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u\rightarrow -\infty} \int_u^0 e^{-x}dx = \lim_{u\rightarrow -\infty} \left[-e^{-x}\right]_u^0 = \lim_{u\rightarrow -\infty}\left[e^{-u}-e^0\right]=+\infty
\end{equation*}
Essa integral imprópria diverge porque o limite é infinito.

Exemplo $6$: $\displaystyle \int_0^{+\infty} \cos(x)dx$.
\begin{equation*}
I=\lim_{u\rightarrow +\infty}\int_0^u \cos(x)dx=\lim_{u\rightarrow +\infty} \text{sen}(u)
\end{equation*}
O limite não existe e a integral diverge.

Podemos generalizar os exemplos $1$ e $2$ de modo que a integral
\begin{equation*}
\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p}
\end{equation*}
converge se $p>1$ e diverge se $p\leq 1$. Assim, temos:
\begin{equation*}
\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p} = \lim_{u\rightarrow +\infty} \int_1^u \frac{dx}{x^p} = \lim_{u \rightarrow +\infty} \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^u = \lim_{u \rightarrow +\infty}\left[\frac{u^{1-p}}{1-p}-\frac{1^{1-p}}{1-p}\right] =\\
=0-\frac{1}{1-p}= \left\{\begin{matrix}
\frac{1}{p-1} &\text{se }p>1 \\
+\infty & \text{se }p<1
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Note que para $p>1$ implica o limite:
\begin{equation*}
\lim_{u \rightarrow +\infty} u^{1-p} = \lim_{u \rightarrow +\infty} \frac{1}{u^{p-1}}=0
\end{equation*}

Exemplo $7$: $\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt[3]{4}}$

Podemos reescrever esta integral como:
\begin{equation*}
\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^{4/3}}
\end{equation*}
Assim, temos que $p=4/3$. Fazemos:
\begin{equation*}
\int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt[3]{4}} = \frac{1}{p-1}=\frac{1}{\frac{4}{3}-1}=3
\end{equation*}
Desta forma, a integral imprópria converge porque seu limite é finito.

Exercícios propostos: Verificar se as integrais impróprias são convergentes os divergentes.

$\displaystyle a) \: \int_0^{+\infty} e^{5x}dx$

$\displaystyle b) \: \int_0^{+\infty}\frac{1}{(x-3)^2}dx$

$\displaystyle c) \: \int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt[3]{x+1}}$

$\displaystyle d) \: \int_0^{+\infty} 4e^{8x}dx$

$\displaystyle e)\: \int_0^{+\infty} e^{-x}\text{sen}(x)dx$


Referências:

[1] Cálculo V1 – Munem-Foulis – Ed. Guanabara Dois
[2] Cálculo com Geometria Analítica V1 – Simmons – Ed. McGraw-Hill
[3] Cálculo 1 – Luiz Mauro Rocha – Ed. Atlas


Veja mais:

➊ Teste da Integral para Convergência de Séries
➋ Transformada de Laplace e Integrais Impróprias no blog Fatos Matemáticos
➌ A Trombeta de Gabriel no blog Giga Matemática
 
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5 comentários:

  1. Seus artigos sobre cálculo são incríveis.
    Tenho visto essas matérias na faculdade e devo dizer que seus exemplos são ideais.
    Continue o bom trabalho e uma pergunta: " Rola apresentar algumas demonstrações mais formais do calculo. Como a existência da integral definida ou o Teorema Fundamental ? "

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  2. Olá Erick,

    Obrigado pelo comentário e incentivo. Sobre o TFC, é uma ótima ideia, vou procurar fazê-lo. Por enquanto, sugiro a leitura dos artigos:

    http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/02/o-teorema-fundamental-do-calculo.html

    Abraços!

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  3. Excelente texto sobre integração imprópria. As representações complexas são igualmente interessantes na validação de integrais impróprias no eixo real. Grande abraço.

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  4. Por que meus comentários não são aceitos? Já enviei vários!!!

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  5. Eu publico todos. De uma conferida por favor.

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