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09/02/2013

Integrais Impróprias com Limites Finitos

Quando escrevemos uma integral definida como:
baf(x)dx
admitimos que o limite de integração são números finitos e que o integrando f(x) é uma função contínua no intervalo limitado axb. Sua representação gráfica é a área sob a curva:
Para calcularmos uma área de regiões ilimitadas, temos que utilizar as integrais impróprias. Considere, por exemplo, a região R sob a curva da equação y=1x2:

Observe que a região R se estende indefinidamente para a direita de x=1. Seja Ru a região limitada sob a curva de f(x)=1x2, entre x=1 e x=u:

A área da região Ru é dada por:
ua1x2dx=[1x]u1=11u
Quando u cresce, a região limitada Ru pode ser considerada como uma boa aproximação da região ilimitada R. Isso no induz a escrever:
R=limu+Ru
O que nos leva a:
R=limu+Ru=limu+(11u)=1unidades de área
Geralmente, se f é uma função definida num intervalo da forma [a,+) e se f(x)0 é válido quando xa, definimos a área da região limitada sob a curva de f e à direita de x=a como:
R=limu+uaf(x)dx
Frequentemente representamos esta área simplesmente por:
+af(x)dx

Definição 1: Integrais impróprias com limite superior infinito

Seja f uma função definida pelo menos no intervalo infinito [a,+). Suponha que f seja integrável no intervalo fechado [a,u] para todos os valores de u. Então definimos:
+af(x)dx=limuuaf(x)dx
Se o limite existe e tem um valor finito, a integral imprópria diz-se convergente e esse valor é atribuído a ele. Caso contrário, a integral é chamada divergente.

Se f(x)0, então a expressão dada em (5) pode ser tomada como a área da região ilimitada representada na figura 3.

Exemplo 1: +1dxx.
I=limu+u1dxx=limu+[ln(x)]u1=limu+ln(u)=+
Esta integral diverge porque o limite é infinito.

Exemplo 2: +1dxx3.
I=limu+u1dxx3=limu+[12x2]u1=limu+[12u2+12]

Exemplo 3: +0exdx.
I=limu+u0exdx=limu+[ex]u0=limu+(1eu+1)=1
Esta integral imprópria é convergente porque o limite existe e é finito.

Exemplo 4: +1dx1+x2.
I=limu+u1dx1+x2=limu+[arctan(x)]u0I=limu+[arctan(u)arctan(0)]=limu+arctan(u)=π2
Essa integral imprópria é convergente porque o limite existe e é finito.

Exemplo 5: 0exdx.
I=limu0uexdx=limu[ex]0u=limu[eue0]=+
Essa integral imprópria diverge porque o limite é infinito.

Exemplo 6: +0cos(x)dx.
I=limu+u0cos(x)dx=limu+sen(u)
O limite não existe e a integral diverge.

Podemos generalizar os exemplos 1 e 2 de modo que a integral
+1dxxp
converge se p>1 e diverge se p1. Assim, temos:
+1dxxp=limu+u1dxxp=limu+[x1p1p]u1=limu+[u1p1p11p1p]==011p={1p1se p>1+se p<1
Note que para p>1 implica o limite:
limu+u1p=limu+1up1=0

Exemplo 7: +1dx34

Podemos reescrever esta integral como:
+1dxx4/3
Assim, temos que p=4/3. Fazemos:
+1dx34=1p1=1431=3
Desta forma, a integral imprópria converge porque seu limite é finito.

Exercícios propostos: Verificar se as integrais impróprias são convergentes os divergentes.

a)+0e5xdx

b)+01(x3)2dx

c)+1dx3x+1

d)+04e8xdx

e)+0exsen(x)dx


Referências:

[1] Cálculo V1 – Munem-Foulis – Ed. Guanabara Dois
[2] Cálculo com Geometria Analítica V1 – Simmons – Ed. McGraw-Hill
[3] Cálculo 1 – Luiz Mauro Rocha – Ed. Atlas


Veja mais:

➊ Teste da Integral para Convergência de Séries
➋ Transformada de Laplace e Integrais Impróprias no blog Fatos Matemáticos
➌ A Trombeta de Gabriel no blog Giga Matemática
 
COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Integrais Impróprias com Limites Finitos. Publicado por Kleber Kilhian em 09/02/2013. URL: . Leia os Termos de uso.


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5 comentários:

  1. Seus artigos sobre cálculo são incríveis.
    Tenho visto essas matérias na faculdade e devo dizer que seus exemplos são ideais.
    Continue o bom trabalho e uma pergunta: " Rola apresentar algumas demonstrações mais formais do calculo. Como a existência da integral definida ou o Teorema Fundamental ? "

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  2. Olá Erick,

    Obrigado pelo comentário e incentivo. Sobre o TFC, é uma ótima ideia, vou procurar fazê-lo. Por enquanto, sugiro a leitura dos artigos:

    http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2012/02/o-teorema-fundamental-do-calculo.html

    Abraços!

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  3. Excelente texto sobre integração imprópria. As representações complexas são igualmente interessantes na validação de integrais impróprias no eixo real. Grande abraço.

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  4. Por que meus comentários não são aceitos? Já enviei vários!!!

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  5. Eu publico todos. De uma conferida por favor.

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