Fórmula de Redução para Alguns Casos de Integrais

As fórmulas de redução para integrais são obtidas a partir da integração por partes. São expressas por uma integral com potência de função em termos de uma integral que envolve uma potência menor.

Quando escrevemos a fórmula da derivada de um produto na notação diferencial, temos que $d(uv) = u\ dv + v\ du$ ou ainda $u\ dv = d(uv) - v\ du$ e por integração:

$$\int u\ dv = uv- \int v\ du \tag{1}$$

Esta é a fórmula da integração por partes que, com frequência, funciona quando os outros métodos falham.

Em alguns casos é necessário efetuar duas ou mais integrações por partes sucessivamente, como no caso da integral:

$$\begin{equation*} \int x^2\ e^x\ dx \end{equation*}$$

Pode ocorrer de a integral original aparecer uma segunda vez durante o processo de integração por partes e, neste caso, com frequência é possível isolar esta integral por álgebra elementar.

Exemplo 1:

Seja a integral:
$$\begin{equation*} \int e^x\ \cos(x)\ dx \tag{2} \end{equation*}$$

Vamos chamar esta integral de $J$. Então:

$$\begin{equation*} J = \int e^x\ \cos(x)\ dx \tag{3} \end{equation*}$$

Assim, temos que $u=x$, $du = e^x\ dx$, $dv = \cos(x)\ dx$ e $v=\text{sen}(x)$. Então fazemos:

$$\begin{equation*} J = uv - \int v\ du\\ \end{equation*}$$
$$\begin{equation*} J = e^x \text{sen}(x)\ dx - \int e^x \text{sen}(x)\ dx \tag{4} \end{equation*}$$

Apesar das integrais dadas em $(2)$ e $(4)$ serem de mesma complexidade, aplicamos novamente o método de integração por partes. Assim, temos que $u=e^x$, $du=e^x\ dx$, $dv=\text{sen}(x)\ dx$ e $v=-\cos(x)\ dx$. Fazemos então:

$$\begin{equation*} \int e^x\ \text{sen}(x)\ dx = uv - \int v\ du \end{equation*}$$
$$\begin{equation*} \int e^x\ \text{sen}(x)\ dx = -e^x\ \cos(x) + \int e^x\ \cos(x)\ dx \tag{5} \end{equation*}$$

Vemos que a integral da direita da expressão $(5)$ é a integral $J$ dada em $(3)$.. Desta forma, escrevemos:

$$\begin{equation*} \int e^x\ \text{sen}(x)\ dx = -e^x\ \cos(x) + J \tag{6} \end{equation*}$$
Substituindo $(6)$ em $(4)$, obtemos:
$$\begin{equation*} J = e^x\ \text{sen}(x) + e^x\ \cos(x)-J\\ \ \\ 2J = e^x\ \text{sen}(x) + e^x\ \cos(x)\\ \ \\ J = \frac{1}{2} e^x\ \text{sen}(x) + \frac{1}{2} e^x\ \cos(x) \end{equation*}$$
Assim:
$$\begin{equation*} \int e^x\ \cos(x)\ dx = \frac{1}{2} e^x \Big[ \text{sen}(x) + \cos(x) \Big] + C \end{equation*}$$

Este método é muitas vezes utilizado para fazer uma integral depender de uma integral mais simples do mesmo tipo e assim obter uma fórmula de redução conveniente, cuja aplicação repetida leve ao cálculo da integral dada.

Exemplo 2:

Vamos determinar uma fórmula de redução para a integral:

$$\begin{equation*} J_n = \int \text{sen}^n(x)\ dx \tag{7} \end{equation*}$$

Integrando por partes e desmembrando o integrando, obtemos $u=\text{sen}^{n-1}(x)$, $du=(n-1)\text{sen}^{n-2}(x)\ \cos(x)\ dx$, $dv = \text{sen}(x)\ dx$ e $v = -\cos(x)$. Assim:

$$\begin{equation*} J_n = uv - \int v\ du\\ \ \\ J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\ \cos(x) + \int \cos(x) (n-1) \text{sen}^{n-2} (x) \cos(x)\ dx\\ \ \\ J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\ \cos(x) + (n-1) \int \text{sen}^{n-2}(x) \cos^2(x)\ dx\\ \ \\ J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\ \cos(x) + (n-1) \int \text{sen}^{n-2}(x)\big(1- \text{sen}^2(x) \big)\ dx\\ \end{equation*}$$
$$\begin{equation*} J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\ \cos(x) + (n-1) \int \text{sen}^{n-2}(x) - (n-1) \int \text{sen}^n (x)\ dx \tag{8} \end{equation*}$$

Vejam que na expressão $(8)$ temos a integral original dada em $(7)$:

$$\begin{equation*} \int \text{sen}^n (x)\ dx = J_n \tag{9} \end{equation*}$$
$$\begin{equation*} \int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx = J_{n-2} \tag{10} \end{equation*}$$

Substituindo $(9)$ e $(10)$ em $(8)$, obtemos:

$$\begin{equation*} J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\cos(x) + (n-1)\ J_{n-2} - (n-1)\ J_n\\ \ \\ J_n + (n-1)\ J_n = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + (n-1)\ J_{n-2}\\ \ \\ n\ J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\cos(x) + (n-1)\ J_{n-2} \end{equation*}$$
De modo que:
$$\begin{equation*} J_n = - \frac{1}{n} \text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \frac{n-1}{n}\ J_{n-2} \end{equation*}$$
O que nos leva a:
$$\begin{equation*} \int \text{sen}^n(x)\ dx = -\frac{1}{n} \text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \frac{n-1}{n} \int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx \tag{11} \end{equation*}$$

Analisando a fórmula de redução dada em $(11)$, observamos que podemos reduzir de $2$ o expoente de $\text{sen}(x)$ Aplicando repetidamente esta fórmula, podemos reduzir $J_n$ para $J_0$ ou $J_1$, conforme $n$ seja par ou ímpar, mas ambas integrais fáceis de calcular.

$$\begin{equation*} J_0 = \int \text{sen}^0 (x)\ dx \\ \ \\ J_0 = dx\\ \ \\ J_0 = x \end{equation*}$$
e
$$\begin{equation*} J_1 = \int \text{sen}(x)\ dx = -\cos(x) \end{equation*}$$
Por exemplo, se $n=4$, fazemos:
$$\begin{equation*} \int \text{sen}^4(x)\ dx = -\frac{1}{4} \text{sen}^3(x)\cos(x) + \frac{3}{4} \int \text{sen}^2 (x)\ dx \end{equation*}$$
Mas como para $n=2$:
$$\begin{equation*} \int \text{sen}^2(x)\ dx = -\frac{1}{2} \text{sen}(x) \cos(x) + \frac{1}{2} \int dx\\ \end{equation*}$$
$$\begin{equation*} \int \text{sen}^2(x)\ dx = -\frac{1}{2} \text{sen}(x) \cos(x) + \frac{1}{2} x\tag{13} \end{equation*}$$
Portanto, substituindo $(13)$ em $(12)$:
$$\begin{equation*} \int \text{sen}^4(x)\ dx = -\frac{1}{4} \text{sen}^3(x) \cos(x) + \frac{3}{4} \left( -\frac{1}{2} \text{sen}(x) \cos(x) + \frac{1}{2} x \right)\\ \ \\ \int \text{sen}^4(x)\ dx = \frac{1}{4} \text{sen}^3(x) \cos(x) - \frac{3}{8} \text{sen}(x) \cos(x) + \frac{3}{8} x + C \end{equation*}$$

Exemplo 3:

Vamos calcular a integral definida:
$$\begin{equation*} \int_0^{\pi/2} \text{sen}^8(x)\ dx \end{equation*}$$
Escrevemos:
$$\begin{equation*} J_n = \int_0^{\pi/2} \text{sen}^n(x)\ dx \end{equation*}$$
Pela fórmula de redução dada em $(11)$, fazemos:
$$\begin{equation*} J_n = -\frac{1}{n} \text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) \Bigg|_0^{\pi/2} + \frac{n-1}{n} \int_0^{\pi/2} \text{sen}^{n-2}(x)\ dx\\ \ \\ J_n = \frac{n-1}{n} \int_0^{\pi/2} \text{sen}^{n-2}(x)\ dx\\ \ \\ J_n = \frac{n-1}{n}\ J_{n-2} \end{equation*}$$
Aplicando a fórmula para $n=8$:
$$\begin{equation*} J_8 = \frac{8-1}{8}\ J_6 = \frac{7}{8}\ J_6\\ \ \\ J_6 = \frac{6-1}{6}\ J_4 = \frac{5}{6}\ J_4\\ \ \\ J_4 = \frac{4-1}{4}\ J_2 = \frac{3}{4}\ J_2\\ \ \\ J_2 = \frac{2-1}{2}\ J_0 = \frac{1}{2}\ J_0 \end{equation*}$$
Assim,
$$\begin{equation*} J_8 = \frac{7}{8}\ J_6\\ \ \\ J_8 = \frac{7}{8}\cdot \frac{5}{6}\ J_4\\ \ \\ J_8 = \frac{7}{8}\cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4}\ J_2\\ \ \\ J_8 = \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}\ J_0 \end{equation*}$$
Portanto, se $\displaystyle I=\int_0^{\pi/2} \text{sen}^8(x)\ dx$, então:
$$\begin{equation*} I = \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_0^{\pi/2} \text{sen}^0(x)\ dx\\ \ \\ I = \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_0^{\pi/2} dx\\ \ \\ I =\frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}\\ \ \\ I = \frac{35\ \pi}{256} \end{equation*}$$

Referências:

• Cálculo com Geometria Analítica V1 - Simmons - Ed. McGraw Hill

Links para este artigo:

• http://bit.ly/Formula-Reducao
• https://www.obaricentrodamente.com/2013/02/formula-de-reducao-para-alguns-casos-de.html

Veja mais:

• Integração por Partes
• Integração por Substituição
• Integração por Substituição Trigonométrica
• Integração por Frações Parciais - Fatores Lineares
• Integração por Frações Parciais - Fatores Quadráticos Irredutíveis