Fórmula de Redução para Alguns Casos de Integrais

As fórmulas de redução para integrais são obtidas a partir da integração por partes. São expressas por uma integral com potência de função em termos de uma integral que envolve uma potência menor.

Quando escrevemos a fórmula da derivada de um produto na notação diferencial, temos que $d(uv) = u\ dv + c\ du$ ou ainda $u\ dv = d(uv) - v\ du$ e por integração:

\begin{equation*}
\int u\ dv = uv- \int v\ du \tag{1}
\end{equation*}

Esta é a fórmula da integração por partes que, com frequência, funciona quando os outros métodos falham.

Em alguns casos é necessário efetuar duas ou mais integrações por partes sucessivamente, como no caso da integral:

\begin{equation*}
\int x^2\ e^x\ dx
\end{equation*}

Pode ocorrer de a integral original aparecer uma segunda vez durante o processo de integração por partes e, neste caso, com frequência é possível isolar esta integral por álgebra elementar.

Exemplo 1:

Seja a integral:
\begin{equation*}
\int e^x\ \cos(x)\ dx \tag{2}
\end{equation*}

Vamos chamar esta integral de $J$. Então:

\begin{equation*}
J = \int e^x\ \cos(x)\ dx \tag{3}
\end{equation*}

Assim, temos que $u=x$, $du = e^x\ dx$, $dv = \cos(x)\ dx$ e $v=\text{sen}(x)$. Então fazemos:

\begin{equation*}
J = uv - \int v\ du\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
J = e^x \text{sen}(x)\ dx - \int e^x \text{sen}(x)\ dx \tag{4}
\end{equation*}

Apesar das integrais dadas em $(2)$ e $(4)$ serem de mesma complexidade, aplicamos novamente o método de integração por partes. Assim, temos que $u=e^x$, $du=e^x\ dx$, $dv=\text{sen}(x)\ dx$ e $v=-\cos(x)\ dx$. Fazemos então:

\begin{equation*}
\int e^x\ \text{sen}(x)\ dx = uv - \int v\ du
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int e^x\ \text{sen}(x)\ dx = -e^x\ \cos(x) + \int e^x\ \cos(x)\ dx \tag{5}
\end{equation*}

Vemos que a integral da direita da expressão $(5)$ é a integral $J$ dada em $(3)$.. Desta forma, escrevemos:

\begin{equation*}
\int e^x\ \text{sen}(x)\ dx = -e^x\ \cos(x) + J \tag{6}
\end{equation*}
Substituindo $(6)$ em $(4)$, obtemos:
\begin{equation*}
J = e^x\ \text{sen}(x) + e^x\ \cos(x)-J\\
\ \\
2J = e^x\ \text{sen}(x) + e^x\ \cos(x)\\
\ \\
J = \frac{1}{2} e^x\ \text{sen}(x) + \frac{1}{2} e^x\ \cos(x)
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation*}
\int e^x\ \cos(x)\ dx = \frac{1}{2} e^x \Big[ \text{sen}(x) + \cos(x) \Big] + C
\end{equation*}

Este método é muitas vezes utilizado para fazer uma integral depender de uma integral mais simples do mesmo tipo e assim obter uma fórmula de redução conveniente, cuja aplicação repetida leve ao cálculo da integral dada.

Exemplo 2:

Vamos determinar uma fórmula de redução para a integral:

\begin{equation*}
J_n = \int \text{sen}^n(x)\ dx \tag{7}
\end{equation*}

Integrando por partes e desmembrando o integrando, obtemos $u=\text{sen}^{n-1}(x)$, $du=(n-1)\text{sen}^{n-2}(x)\ \cos(x)\ dx$, $dv = \text{sen}(x)\ dx$ e $v = -\cos(x)$. Assim:

\begin{equation*}
J_n = uv - \int v\ du\\
\ \\
J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\ \cos(x) + \int \cos(x) (n-1) \text{sen}^{n-2} (x) \cos(x)\ dx\\
\ \\
J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\ \cos(x) + (n-1) \int \text{sen}^{n-2}(x) \cos^2(x)\ dx\\
\ \\
J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\ \cos(x) + (n-1) \int \text{sen}^{n-2}(x)\big(1- \text{sen}^2(x) \big)\ dx\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\ \cos(x) + (n-1) \int \text{sen}^{n-2}(x) - (n-1) \int \text{sen}^n (x)\ dx \tag{8}
\end{equation*}

Vejam que na expressão $(8)$ temos a integral original dada em $(7)$:

\begin{equation*}
\int \text{sen}^n (x)\ dx = J_n \tag{9}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx = J_{n-2} \tag{10}
\end{equation*}

Substituindo $(9)$ e $(10)$ em $(8)$, obtemos:

\begin{equation*}
J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\cos(x) + (n-1)\ J_{n-2} - (n-1)\ J_n\\
\ \\
J_n + (n-1)\ J_n = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + (n-1)\ J_{n-2}\\
\ \\
n\ J_n = -\text{sen}^{n-1}(x)\cos(x) + (n-1)\ J_{n-2}
\end{equation*}
De modo que:
\begin{equation*}
J_n = - \frac{1}{n} \text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \frac{n-1}{n}\ J_{n-2}
\end{equation*}
O que nos leva a:
\begin{equation*}
\int \text{sen}^n(x)\ dx = -\frac{1}{n} \text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \frac{n-1}{n} \int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx \tag{11}
\end{equation*}

Analisando a fórmula de redução dada em $(11)$, observamos que podemos reduzir de $2$ o expoente de $\text{sen}(x)$ Aplicando repetidamente esta fórmula, podemos reduzir $J_n$ para $J_0$ ou $J_1$, conforme $n$ seja par ou ímpar, mas ambas integrais fáceis de calcular.

\begin{equation*}
J_0 = \int \text{sen}^0 (x)\ dx \\
\ \\
J_0 = dx\\
\ \\
J_0 = x
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
J_1 = \int \text{sen}(x)\ dx = -\cos(x)
\end{equation*}
Por exemplo, se $n=4$, fazemos:
\begin{equation*}
\int \text{sen}^4(x)\ dx = -\frac{1}{4} \text{sen}^3(x)\cos(x) + \frac{3}{4} \int \text{sen}^2 (x)\ dx
\end{equation*}
Mas como para $n=2$:
\begin{equation*}
\int \text{sen}^2(x)\ dx = -\frac{1}{2} \text{sen}(x) \cos(x) + \frac{1}{2} \int dx\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int \text{sen}^2(x)\ dx = -\frac{1}{2} \text{sen}(x) \cos(x) + \frac{1}{2} x\tag{13}
\end{equation*}
Portanto, substituindo $(13)$ em $(12)$:
\begin{equation*}
\int \text{sen}^4(x)\ dx = -\frac{1}{4} \text{sen}^3(x) \cos(x) + \frac{3}{4} \left( -\frac{1}{2} \text{sen}(x) \cos(x) + \frac{1}{2} x \right)\\
\ \\
\int \text{sen}^4(x)\ dx = \frac{1}{4} \text{sen}^3(x) \cos(x) - \frac{3}{8} \text{sen}(x) \cos(x) + \frac{3}{8} x + C
\end{equation*}

Exemplo 3:

Vamos calcular a integral definida:
\begin{equation*}
\int_0^{\pi/2} \text{sen}^8(x)\ dx
\end{equation*}
Escrevemos:
\begin{equation*}
J_n = \int_0^{\pi/2} \text{sen}^n(x)\ dx
\end{equation*}
Pela fórmula de redução dada em $(11)$, fazemos:
\begin{equation*}
J_n = -\frac{1}{n} \text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) \Bigg|_0^{\pi/2} + \frac{n-1}{n} \int_0^{\pi/2} \text{sen}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
J_n = \frac{n-1}{n} \int_0^{\pi/2} \text{sen}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
J_n = \frac{n-1}{n}\ J_{n-2}
\end{equation*}
Aplicando a fórmula para $n=8$:
\begin{equation*}
J_8 = \frac{8-1}{8}\ J_6 = \frac{7}{8}\ J_6\\
\ \\
J_6 = \frac{6-1}{6}\ J_4 = \frac{5}{6}\ J_4\\
\ \\
J_4 = \frac{4-1}{4}\ J_2 = \frac{3}{4}\ J_2\\
\ \\
J_2 = \frac{2-1}{2}\ J_0 = \frac{1}{2}\ J_0
\end{equation*}
Assim,
\begin{equation*}
J_8 = \frac{7}{8}\ J_6\\
\ \\
J_8 = \frac{7}{8}\cdot \frac{5}{6}\ J_4\\
\ \\
J_8 = \frac{7}{8}\cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4}\ J_2\\
\ \\
J_8 = \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}\ J_0
\end{equation*}
Portanto, se $\displaystyle I=\int_0^{\pi/2} \text{sen}^8(x)\ dx$, então:
\begin{equation*}
I = \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_0^{\pi/2} \text{sen}^0(x)\ dx\\
\ \\
I = \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_0^{\pi/2} dx\\
\ \\
I =\frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}\\
\ \\
I = \frac{35\ \pi}{256}
\end{equation*}

Referências:

• Cálculo com Geometria Analítica V1 - Simmons - Ed. McGraw Hill

Links para este artigo:

• http://bit.ly/Formula-Reducao
• https://www.obaricentrodamente.com/2013/02/formula-de-reducao-para-alguns-casos-de.html

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