Retificação da Circunferência (Parte 6) – Método de Specht

Wilhelm Otto Ludwing Specht (1907-1985) foi um matemático alemão que desenvolveu uma construção geométrica que aproxima a retificação da circunferência com uma precisão de 5 casas decimais.

Construção:

1) Descreva uma circunferência de raio R e de centro O.

2) Trace o diâmetro vertical AB prolongando na direção de B.

3) Trace uma perpendicular por B.

4) Descreva um arco de raio AB e marque o ponto C na intersecção com a perpendicular.

5) Divida o raio AO em cinco partes iguais.

6) Com centro em C, descreva um arco de raio igual a 1/5 do raio AO e marque o ponto D na perpendicular.

7) Com centro em D, descreva um arco de raio igual a 2/5 do raio AO e marque o ponto E na perpendicular.

8) Com centro em A e raio OD, marque o ponto F no prolongamento do diâmetro AB.

9) Una os pontos OE e trace uma paralela a OE que passe por F, marcando o ponto G na intersecção com a perpendicular.

10) O segmento AG é a aproximação da circunferência retificada.

Demonstração:

De acordo com a construção, o segmento AG aproxima a circunferência. Para sua determinação, podemos utilizar semelhança de triângulos, onde:

Assim, temos a relação:

A medida AE é dada por:

A medida AF = OD e a medida OD é dada por:

Aplicando os valores encontrados em (2) e (3) na relação (1), obtemos:

Que podemos escrever como:

Se o raio da circunferência é unitário, então o segmento AG aproxima a circunferência com cinco casas decimais corretas:

Que nos remete a uma aproximação de π a:

Uma aproximação muito boa.

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Veja mais:

Retificação da Circunferência Parte 1, Parte 2, Parte 3, Parte 4, Parte 5
Divisão de um Seguimentos em Partes Iguais
Aproximação de π Como Soma de Dois Números Irracionais

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