12/08/2017

Integrais contínuas de Rodrigues

Este post é sobre Integrais Contínuas e suas resoluções, envolvendo equações diferenciais, desenvolvidas por Augusto Gabriel Rodrigues, pesquisador em Ciências Físico-Matemáticas da Universidade Agostinho Neto em Luanda, Angola.


Definição:

Integrais Contínuas de Rodrigues são todas integrais cujas formas são dada por:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+ \int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}} \tag{1}\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\cdots}}}} \tag{2}\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi\ ^2 (x)\ dx}{\displaystyle \int
 \frac{\varphi \ ^3 (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi \ ^4 (x)\ dx}{\cdots}}}} \tag{3}\\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int \left( \varphi (x) \right)^{\displaystyle \int \left( \varphi (x) \right)^{\displaystyle \int \left( \varphi (x) \right)^\cdots dx}dx}dx
 \tag{4}
\end{equation*}
As Integrais contínuas de Rodrigues são obtidas quando no lugar de $x$ na integral $\displaystyle \int \varphi (x)dx$, colocamos infinitas vezes a integral $\displaystyle \int \varphi \left( \int \varphi \left( \int \varphi \left( \cdots \right) dx \right) dx \right) dx$.

Demonstração da Integral de Rodrigues do tipo $(1)$:

Toda integral contínua do tipo $1$, satisfaz a seguinte igualdade:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+ \int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}}= \psi(x) \tag{5}
\end{equation*}
Onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\left( \psi(x) + \varphi (x) \right) \frac{d \psi(x)}{dx}= 1 \tag{6}
\end{equation*}

Provemos, então, a igualdade $6$. Seja a integral:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\boxed{\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+\int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
Não é difícil observar que a expressão contida no retângulo constitui a integral $(5)$, pois ela se estende ao infinito, tendo como sua primitiva $\psi(x)$. Assim, temos:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\varphi(x)+\psi(x)}=\psi(x)
\end{equation*}
o que constitui uma equação integral elementar. Derivando ambos os membros desta igualdade, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{d}{dx}\int \frac{dx}{\varphi(x)+\psi(x)}=\frac{d\psi(x)}{dx}\
\ \\
\frac{1}{\varphi(x)+\psi(x)} = \frac{d\psi(x)}{dx}\end{equation*}
Ou ainda:
\begin{equation*}
\left( \varphi(x)+\psi(x) \right)\frac{d \psi(x)}{dx}=1
\end{equation*}
Como queríamos demonstrar.

Método de resolução da Integral de Rodrigues do tipo $1$:

Toda integral do tipo $1$ satisfaz a seguinte igualdade:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+\int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\left( \psi(x) + \varphi (x) \right) \frac{d \psi(x)}{dx}= 1
\end{equation*}

Método de resolução da Integral de Rodrigues do tipo $2$: 

Toda a integral do tipo $2$ satisfaz a seguinte igualdade:
\begin{equation*}
\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{d \psi(x)}{dx}
\end{equation*}

A Integral de Rodrigues do tipo $2$ é utilizada pelo autor para provar que algumas integrais não são elementarmente primitiváveis.

Método de resolução da Integral de Rodrigues do tipo $3$:

Toda a integral do tipo $3$ satisfaz a igualdade:
\begin{equation*}
\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi\ ^2 (x)\ dx}{\displaystyle \int
 \frac{\varphi \ ^3 (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi \ ^4 (x)\ dx}{\cdots}}}} 
\end{equation*}onde:
\begin{equation*}
\psi_{n-1}(x)=\int \frac{\varphi^{n-1}(x)dx}{\psi_n(x)}
\end{equation*}
A solução da integral obtém-se resolvendo o sistema de equações diferenciais $\displaystyle \frac{d\psi(x)}{dx}=\frac{\varphi^{n-1}(x)}{\psi_n(x)}$, onde $n=2,3,4, \cdots$:
\begin{equation*}
\psi_1 = \int \frac{\varphi \ (x)dx}{\psi_2}\\
\ \\
\psi_2 = \int \frac{\varphi^2(x) dx}{\psi_3}\\
\ \\
\psi_3 = \frac{\varphi^3(x)dx}{\psi_4}\\
\ \\
\ \cdots \\
\ \\
\psi_{n-1}= \int \frac{\left(\varphi(x)\right)^{n-1} dx}{\psi_n}
\end{equation*}e $\psi_i $, onde $i=1,2,3,\cdots$, são as soluções do sistema de equações:
\begin{cases}
\psi_1\ ^\prime\  \psi_2 & = & x\\
\psi_2\ ^\prime\  \psi_3 & = & x^2\\
\psi_3\ ^\prime\  \psi_4 & = & x^3\\
\cdots
\end{cases}

Método de resolução da Integral de Rodrigues do tipo $4$:

Toda integral do tipo $4$ satisfaz a igualdade:
\begin{equation*}
\int \left( \varphi (x) \right)^{\displaystyle \int \left( \varphi (x) \right)^{\displaystyle \int \left( \varphi (x) \right)^\cdots dx}dx}dx  = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\varphi(\psi(x))=\frac{d \psi(x)}{dx}
\end{equation*}

Algumas conclusões:

Em virtude dos resultados obtidos, podemos concluir:


\begin{equation*}
1) \qquad \int\frac{dx}{\displaystyle 1+\int \frac{dx}{\displaystyle
1+\int \frac{dx}{\displaystyle 1+ \int \frac{dx}{1+
 \cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde:
\begin{equation*}
\frac{(1+\psi(x))^2}{2}=x+C
\end{equation*}

\begin{equation*}
2) \qquad \int\frac{\ln(x)dx}{\displaystyle \int \frac{\ln(x)dx}{\displaystyle
\int \frac{\ln(x)dx}{\displaystyle \int \frac{\ln(x)dx}{
 \cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde:
\begin{equation*}
\frac{(\psi(x))^2}{2}=x(\ln (x)-1)+C
\end{equation*}

\begin{equation*}
3) \qquad \int \left( \text{sen} (x) \right)^{\displaystyle \int \left( \text{sen}(x) \right)^{\displaystyle \int \left( \text{sen} (x) \right)^\cdots dx}dx}dx = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\text{sen}(\psi(x))=\frac{d \psi(x)}{dx}
\end{equation*}

\begin{equation*}
4) \qquad \int \frac{\text{tg}(x)dx}{\displaystyle 1+\int\frac{\text{cotg}(x)dx}{\displaystyle 1+\int\frac{\text{tg}(x)dx}{\displaystyle 1+\int \frac{\text{cotg}(x)dx}{\displaystyle 1+ \int \frac{\text{tg}(x)dx}{\displaystyle 1+ \cdots}}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
-(\text{tg}(x))^2 \ddot{\psi} + \text{tg} (x) \sqrt{1+\text{tg}^2(x)} \ \dot{\psi}=\frac{1}{\psi}
\end{equation*}
onde $\psi$ = $\psi (x)$.

\begin{equation*}
5) \qquad \int\frac{\ln(1+x)dx}{\displaystyle \int \frac{\ln(x)dx}{\displaystyle  \int \frac{\ln(1+x)dx}{\displaystyle \int \frac{\ln(x)dx}{  \cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi (x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\frac{\psi(x)}{1+x} - \dot{\psi} \ln(1+x)=\psi \ln(x)
\end{equation*}

\begin{equation*} 
6) \qquad \int e (x)^{\displaystyle \int e(x)^{\displaystyle \int e(x)^\cdots dx}dx}dx  = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*} 
e^{\displaystyle \psi(x)}=\frac{d \psi(x)}{dx}
\end{equation*}

\begin{equation*} 
7) \qquad \int\frac{\text{arctg}(x)\ dx}{\displaystyle 1+\int \frac{\text{arctg}(x)\ dx}{\displaystyle  1+\int \frac{\text{arctg}(x)\ dx}{\displaystyle 1+ \int \frac{\text{arctg}(x) \ dx}{1+  \cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*} 
\frac{d \psi(x)}{dx}=\frac{\text{arctg}(x)}{1+\psi(x)}
 \end{equation*}

\begin{equation*}
8) \qquad \int\frac{\text{arcsen}(x)\ dx}{\displaystyle 1+\int \frac{\text{arccos}(x)\ dx}{\displaystyle  1+\int \frac{\text{arcsen}(x)\ dx}{\displaystyle 1+ \int \frac{\text{arccos}(x) \ dx}{1+  \cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \frac{1}{\dot{\psi}^3} - \text{arcsen}(x)\frac{\ddot{\psi}}{\dot{\psi}^2}=\frac{\text{arccos}(x)}{1+\psi(x)}
\end{equation*}

A lista de Integrais Contínuas de Rodrigues, que se reduzem a equações diferenciais, é interminável. Para alguns céticos quanto ao trabalho apresentado, o autor afirma que as fórmulas foram criadas para gerar equações diferenciais de naturezas diversas.

Este trabalho deverá interessar aos cientistas do moviemnto que buscam nas equações diferenciais maneiras de compreender quantidades cuja taxa de variação é conhecida.

Liouville foi o primeiro matmeático a provar que algumas funções não são elementaresmente primitiváveis. Quando o autor iniciou o estudo sobre integrais contínuas, desejava encontrar as primitivas de funções não elementarmente primitiváveis e depois de incansáveis ataques, tudo o que pode encontrar foi a prova de que diversas funções especiais não são elementarmente primitiváveis.

Integral de Poisson, Logaritmo Integral, Integral de Dirichlet, Integral de Fresnel, entre outras, não possuem primitivas elementares ou simplesmente não são elementarmente primitiváveis:

Utilizando a Integral de Rodrigues do tipo $2$, temos que:
\begin{equation*}
\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int
 \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\
dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\cdots}}}}= \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial:
\begin{equation*}
\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{d \psi(x)}{dx}
\end{equation*}
Resultando em:
\begin{equation*}
\int \varphi (x)dx = \int \psi (x) d \psi(x)
\end{equation*}
Se $\displaystyle \varphi (x)=\frac{1}{\log (x)}$, então:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\log (x)} = \int \psi (x) d\psi (x)
\end{equation*}
Se $\displaystyle \varphi(x) = \frac{\text{sen}(x)}{x}$, então:
\begin{equation*}
\int \frac{\text{sen}(x)dx}{x} = \int \psi(x) d\psi(x)
\end{equation*}
Se $\displaystyle \varphi (x) = \sqrt{\text{sen}(x)}$, então:
\begin{equation*}
\int \sqrt{\text{sen}(x)}\ dx= \int \psi (x) d \psi (x)
\end{equation*}
Se $\displaystyle \varphi (x) = e^{x^{2}}$, então:
\begin{equation*}
\int e^{x^2} dx = \int \psi (x) d \psi (x)
\end{equation*}
Assim, podemos concluir que todas as funções não elementarmente primitiváveis possuem a mesma primitiva, ou seja:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{\log (x)} = \int \frac{\text{sen}(x)dx}{x} =\\
\ \\
\int \sqrt{\text{sen}(x)}\ dx = \int e^{x^2}dx=\int \psi (x) d \psi(x)
\end{equation*}
O que constitui um absurdo. Fica assim provado que elas não possuem primitivas elementares.

Exemplo $1$:

Seja a integral:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+ \int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial $\left(\psi(x)\right)^\prime \left[\psi(x)+\varphi(x)\right] = 1$ e $\varphi(x)=1$.

Resolvendo esta equação diferencial, temos que:
\begin{equation*}
(1+\psi)\frac{d\psi}{dx}=1\\
\ \\
(1+\psi)d\psi - dx = 0\\
\ \\
(1+\psi)d \psi - dx = dc
\end{equation*}
Integrando, resulta em:
\begin{equation*}
\frac{(1+\psi)^2}{2}=x+c\\
\ \\
\psi = -1 \pm \sqrt{2x+k}
\end{equation*}
onde $k=2c$.

Portanto:
\begin{equation*}
\int\frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi(x)+\int \frac{dx}{\displaystyle \varphi (x)+ \int \frac{dx}{\varphi(x) \cdots}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
\psi(x)=-1\pm\sqrt{2x+k}
\end{equation*}

Exemplo $2$:

Seja a integral:
\begin{equation*}

\int \frac{\varphi(x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\displaystyle \int \frac{\varphi (x)\ dx}{\cdots}}}} = \psi(x)
\end{equation*}
onde $\psi(x)$ é a solução da equação diferencial $\left(\psi(x)\right)^\prime \psi(x)=\varphi(x)$ Onde $\varphi(x)=x$

Resolvendo a equação diferencial:
\begin{equation*}
\psi \frac{d\psi}{dx}=x
\end{equation*}
resulta em:
\begin{equation*}
\psi(x)=\pm\sqrt{2x+k}
\end{equation*}

Observação: A integral $\displaystyle \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{2t+k}}=\sqrt{2x+k}$ fica  assim estabelecido por meio deste estudo a relação entre integrais simples e integrais contínuas de Rodrigues.

Link para o artigo: http://bit.ly/Int_Cont_Rod

O autor:

Augusto Gabriel Rodrigues é pesquisador em Ciências Físico-Matemáticas da Universidade Agostinho Neto em Luanda, Angola.

Contato por e-mail: joylizqueen@gmail.com




Veja mais:

O Cálculo integral
Integração por partes
Integração por substituição
Integração por frações parciais - Parte 1
Integração por frações parciais - Parte 2
Integração por substituição trigonométrica
Fórmula de redução para alguns casos de integrais 



06/08/2017

A matemática do malabarismo

A imagem retirada de um túmulo egípcio de quatro mil anos atrás mostra a primeira representação visual de uma das artes mais típicas do circo, o malabarismo. Mas qual a relação do malabarismo com a Matemática?

A primeira interseção entre ambos ocorreu no século $X$, com o geômetra Abu Sahl Al-Kuhi. De acordo com dados históricos, antes de se dedicar ao ofício que lhe fez famosa, Abu era conhecido por seus malabarismos com garrafas nos mercados da cidade de Bagdá.

A partir do século $XX$, quando o malabarismo deixou de ser praticado quase que exclusivamente por profissionais circenses e passou a ser também um hobby, a relação entre malabarismo e matemática passou a se desenvolver mais rapidamente. Foi aí que matemáticos de todo o mundo começaram a treinar e a estudar o malabarismo e suas inúmeras combinações. Os pesquisadores que se debruçaram sobre a atividade desenvolveram novos padrões e técnicas.

Um dos principais entusiastas dessa união foi o matemático Claude Shannon $(1916-2001)$. Considerado um dos criadores da Teoria da Informação, ele também é o pai do “teorema dos malabares”, que correlaciona o tempo que os objetos ficam no ar com o tempo que elas ficam nas mãos do malabarista, provando a importância da velocidade das mãos no sucesso da empreitada. O teorema tem a seguinte fórmula:
\begin{equation*}
(F+D)H=(V+D)N
\end{equation*}
Sendo $F$ o tempo que o objeto fica no ar; $D$ o tempo que o objeto fica na mão; $H$ o número de mãos; $V$ o tempo que a mão fica vazia e $N$ o número de objetos jogados no ar.


De forma resumida, o malabarismo é uma sequência de lançamento de projéteis em certos padrões, com cada objeto seguindo um arco parabólico que pode seguir três modelos: A Cascata, na qual um número ímpar de objetos é lançado de uma mão para a outra; a Fonte, quando um número par de objetos é lançado em duas colunas; e o Chuveiro, situação em que todos os objetos são lançados em um círculo.

Atualmente os estudos sobre essa união continuam a ser publicados em periódicos matemáticos. O pesquisador Burkard Polster, da Universidade Monash, na Austrália, escreveu sobre o assunto em $2002$ no livro “Mathematics and juggling”. “A sensação que tenho quando eu vejo uma bela equação é a mesma que eu tenho quando vejo um padrão bonito com malabares”, disse Polster à Revista Quanta.

Referências:

[1] https://impa.br/page-noticias/a-matematica-do-malabarismo/
[2] Matemática e malabarismo, Antônio Machiavelo
[3] https://www.qedcat.com/articles/juggling_survey.pdf

Veja mais:

O teorema de Stewart
O teorema de Bayes
O teorema de Hardy-Weinberg


05/08/2017

Ilusão de Óptica: $6$ ou $7$ cubos?

Nesta ilusão de óptica é possível vermos $6$ ou $7$ cubos dependendo da forma que observamos a figura.



Os cubos serão $6$ se observarmos a face preta como base superior do prisma. E serão $7$ se observarmos a face preta como base inferior.

Referências:

[1] As Maravilhas da Matemática, Malba Tahan

Veja mais:

O peso de uma distância
A pirâmide humana de Newton
As 9 multiplicações com os 9 algarismos


01/08/2017

A superfície Costa

A Superfície Costa é uma das superfícies mínimas e foi descoberta em $1982$, pelo matemático brasileiro Celso José da Costa, como parte de sua tese de doutorado no IMPA. Em $1984$ J. Hoffman, D. Hoffman e W. W. Meeks, da Universidade de Massachusetts, conseguiram criar sua imagem computacional.



Os únicos exemplares de sua classe conhecidos até então eram o catenoide (Leonhard Euler, $1760$), o helicoide (Jean Baptiste Meusnier, $1776$) e o plano.

Celso José da Costa nasceu em Congonhinhas, Paraná, a $7$ de abril de $1949$. Obteve doutorado no Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, em dezembro de $1982$, com uma tese na área de geometria diferencial. O resultado principal de sua tese foi a prova da existência de uma superfície mínima e completa no espaço euclidiano tridimensional com a topologia do toro menos três pontos.


Realizou estágio de Pós-Doutorado na Universitè de Paris VII-França, $(1986-1987)$, foi professor visitante da Universitè de Chambery-França $(1987-1988)$, da Universitè de Grenoble-França $(1988-1989)$ e foi Directeur de Recherches do CNRS em $1989$. Atualmente é professor titular da Universidade Federal Fluminense, onde lidera um grupo de pesquisa em geometria diferencial. Sua atividade de pesquisa centra-se principalmente na construção e classificação de superfícies mínimas completas e mergulhadas no espaço euclidiano tridimensional, e mais geralmente superfícies completas imersas em espaços de formas.

A superfície mínima descoberta em sua tese resolveu um antigo problema na área das superfícies mínimas. Concretamente, ele encontrou uma quarta superfície mínima, agora denominada internacionalmente como Costa's Surface (Superfície Costa).

Uma superfície imersa no espaço euclidiano é dita mínima se todo ponto da superfície tem uma vizinhança que é uma superfície de menor área com respeito ao seu bordo. Neste sentido tais superfícies são a generalização bidimensional das geodésicas.

As três superfícies mínimas, anteriormente conhecidas, eram o plano, o catenoide (Euler - $1764$) e o helicoide (Meusnier - $1776$). Os trabalhos científicos do prof. Celso J. Costa tem dado grande impulso ao entendimento das superfícies mínimas completas e mergulhadas no espaço euclidiano tridimensional e estão publicados em revistas de excelente nível. Em vista da qualidade destes resultado recebeu em $1998$ do Ministério da Ciência e Tecnologia em $1998$ a medalha "Ordem do Mérito Científico na classe de Comendador".

Referências:

[1] http://www.ime.uff.br
[2] SBM - Sociedade Brasileira de Matemática
[3] Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada
[4] http://www.abc.org.br/~cjcosta
[5] http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.do?id=K4787442H2

Veja mais:

A fórmula de Euler para poliedros convexos
Caten, catenárias em movimento
A primeira garrafa de Klein



29/07/2017

A morte de Riemann

Riemann era filho de um pastor luterano e tinha problemas de saúde desde a infância. Mesmo com a família em condições financeiras precárias, seu pai conseguiu proporcionar-lhe uma boa educação que começou na Universidade de Göttingen e continuou na Universidade Humboldt de Berlim. Obteve o doutorado na Universidade de Göttingen, com uma tese no campo da teoria das funções complexas. Na tese encontramos as equações diferenciais de Cauchy-Riemann, que garantem a análise de uma função de variável complexa e o conceito de superfícies de Riemann, que trouxe considerações topológicas à análise. Com uma definição própria - Integral de Riemann -, tornou mais claro o conceito de integrabilidade abrindo caminho para a generalização deste conceito no século $XX$ e daí para horizontes mais amplos como a relatividade geral.


Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em $17$ de setembro de $1826$ em Breselenz, Alemanha e morreu dia $20$ de julho de $1866$ em Selasca, Itália.

Nenhuma grande mente do passado exerceu uma influência tão profunda sobre os matemáticos do século $XX$ quanto Brenhard Riemann. Ele estudou os trabalhos de Euler e de Legendre quando ainda estava no curso secundário e diz-se que ele dominou o tratado de Legendre sobre a Teoria dos Números em menos de uma semana. Mas ele era tímido e modesto, com pouca consciência de suas habilidades extraordinárias, tanto que aos dezenove anos foi para a Universidade de Göttingen com o objetivo de estudar Teologia e tornar-se um clérigo. Felizmente, essa proposta logo subiu-lhe à garganta e com a permissão de seu pai mudou para a Matemática.

A presença do legendário Gauss fez de Göttingen o centro do mundo matemático. Mas Gauss era distante e inacessível e, depois de apenas um ano, Riemann deixou esse ambiente insatisfatório e foi para a Universidade de Berlim. Lá atraiu o interesse amigável de Dirichlet e de Jacobi, aprendendo muito de ambos.

Dois anos após, retornou a Göttingen, onde obteve o grau de doutor em $1851$. Durante os oito anos seguintes, suportou uma pobreza debilitante e criou suas maiores obras. Em $1854$ foi nomeado "Privatdozent" (conferencista não-remunerado), que naquele tempo era o primeiro degrau necessário para a escalada acadêmica.

Gauss morreu em $1855$ e Dirchlet foi chamado a Göttingen como seu sucessor. Dirichlet ajudor Riemann como pôde. Primeiro com um pequeno salário (cerca de $1/10$ do que ganhava um professor titular) e depois com uma promoção a professor assistente. Em $1859$ ele também morreu e Riemann foi nomeado professor titular para substituí-lo. Os anos de pobreza de Riemann acabaram-se, mas sua saúde estava abalada. Aos trinta e nove anos morreu de tuberculose na Itália, na última das várias viagens que fez para fugir do clima frio e úmido do norte da Alemanha.

Riemann teve uma vida curta e publicou relativamente pouco, mas seus trabalhos alteraram permanentemente o curso da Matemática na Análise, Geometria e Teoria dos Números.

Referências:

[1] Cálculo com Geometria Analítica V1 - Simmons
[2] Wikipédia - Bernhard Riemann

Veja mais:

As equações de Cauchy-Riemann
Dirichlet e os números primos
A soma de Gauss

19/07/2017

A Pedra de Roseta

No dia $19$ de julho de $1799$, era encontrada no Egito pelas tropas napoleônicas a Pedra de Roseta, que tornaria possível a compreensão de toda a matemática egípcia

A Pedra de Roseta é um fragmento de uma estela de granodiorito do Egito Antigo, cujo texto foi crucial para a compreensão moderna dos hieróglifos egípcios. Sua inscrição registra um decreto promulgado em $196\ a.C.$, na cidade de Mênfis, em nome do rei Ptolomeu $V$, registrado em três parágrafos com o mesmo texto: o superior está na forma hieroglífica do egípcio antigo, o trecho do meio em demótico, variante escrita do egípcio tardio, e o inferior em grego antigo.


Exibida originalmente dentro de um templo, a estela provavelmente foi removida durante os períodos cristão ou medieval, e finalmente terminou sendo usada como material na construção de um forte na cidade de Roseta (Rashid), no delta do Nilo. Foi redescoberta ali em $1799$ por um soldado integrante da expedição francesa ao Egito, liderada por Napoleão. Primeiro texto bilíngue a ser recuperado na história moderna, a Pedra de Roseta logo despertou grande interesse pela possibilidade de conter uma tradução da antiga língua egípcia, até então nunca decifrada. Cópias litografadas e de gesso passaram a circular entre museus e acadêmicos europeus. Neste meio tempo, tropas britânicas derrotaram os franceses no Egito, em $1801$, e a pedra acabou passando para a posse do Reino Unido, de acordo com a Capitulação de Alexandria. Transportada para Londres, está em exibição ao público no Museu Britânico desde $1802$, onde é o objeto mais visitado.

O estudo do decreto já estava bem avançado quando a primeira tradução completa do texto grego surgiu, em $1803$. Somente $20$ anos depois, no entanto, foi feito o anúncio da decifração dos textos egípcios por Jean-François Champollion, em $1822$; muito tempo ainda se passou até que os estudiosos pudessem ler outras antigas inscrições egípcias e compreender sua literatura com alguma confiança. Os principais fatores para esta decodificação foram: a descoberta de que a Pedra oferecia três variantes do mesmo texto $(1799)$; que o texto em demótico utilizava caracteres fonéticos para soletrar os nomes estrangeiros $(1802)$; que o texto em hieróglifos não só também o fazia, como tinha semelhanças profundas com o demótico (Thomas Young, $1814$); e que, além de serem utilizados para soletrar estes nomes, os caracteres fonéticos também eram utilizados para soletrar palavras nativas do egípcio (Champollion, $1822–1824$). Desde sua redescoberta, a Pedra tem sido alvo de rivalidades nacionalistas, incluindo sua transferência da França para o Reino Unido durante as Guerras Napoleônicas, a antiga disputa sobre o valor relativo das contribuições de Young e Champollion para a decifração, e, desde $2003$, a reivindicação de retorno feita pelo Egito.

Duas outras cópias fragmentárias do mesmo decreto foram descobertas mais tarde, e diversas inscrições bilíngues ou trilíngues semelhantes foram descobertas posteriormente, incluindo dois decretos Ptolomaicos um pouco anteriores (o Decreto de Canopo, de $238\ a.C.$, e o decreto de Mênfis de Ptolomeu $IV$, $c.\ 218\ a.C.$. A Pedra de Roseta, portanto, não tem mais o valor de ser única, porém foi essencial para a compreensão moderna da literatura e da civilização do Egito Antigo. O termo Pedra de Roseta é utilizado hoje em dia em outros contextos, para se referir a alguma informação essencial de um campo novo de conhecimento.

Referências:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Pedra_de_Roseta
http://www.history.com/this-day-in-hist…/rosetta-stone-found

Veja mais:

A multiplicação egípcia
Os primeiros matemáticos
Lagrange: A grande pirâmide da Matemática 



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