01/12/2011

O Refinamento de Snell

image Willebrord Snellius (1580 – 1626) foi um matemático e astrônomo holandês, mais conhecido pela sua Lei de Snell-Descartes, mas com muitos feitos na área matemática.

Em 1613 sucedeu seu pai como professor da Universidade de Leiden e em 1615 planejou e criou um novo método de encontrar o raio da Terra através da determinação de um ponto na superfície terrestre paralelo à latitude de outro, através da trigonometria.

Em seu trabalho Eratosthenes Batavus (1617), descreve o método e mostra os resultados obtidos das medidas entre as cidades de Alkamaar e Bergen op Zoom, encontrando 107.396 km, sendo a distância atual de 111 km.

Snellius foi um grande matemático, produzindo um método diferenciado para calcular π, sendo o primeiro aprimoramento desde tempos remotos. Esse método foi chamado de Refinamento de Snell.

Seja AOP um ângulo central agudo num círculo de raio unitário. Prolongando o diâmetro AOB até o ponto S de modo que BS = AO, trace SP indicando por T sua intersecção com a tangente ao círculo em A. Snell percebeu que se o ângulo AOP é suficientemente pequeno, o segmento de tangente AT tem comprimento aproximadamente igual ao arco AP.

image [Figura 1]

No entanto, esta aproximação vai piorando quando o ângulo se próxima do reto:

image

[Figura 2]

Considerando o círculo com raio unitário, o comprimento do arco AP pode ser expresso pela fórmula:

clip_image002

clip_image002[4]

Considerando a figura 2, temos que AS= 3r, OS = 2r e OP = r. Assim:

clip_image002[6]

Vejam que neste caso, para um ângulo AOP = 90°, o erro é de 0,70796... Já para ângulos menores, este erro é minimizado, como sugere a tabela abaixo:

image

[Tabela 1]

Um outro fato interessante a ser observado nesta construção de Snell é que podemos expressão a tangente do ângulo φ = AOT em função dos senos e cossenos do ângulo θ = AOP:

image

[Figura 3]

Seja M o pé da perpendicular a AO por P. Desta forma PM = r sen (θ), OM = r cos (θ):

clip_image002[8]

clip_image002[10]

clip_image002[12]

clip_image002[14]

Substituindo (4) em (5), obtemos:

clip_image002[16]

clip_image002[18]

Em 1630, usando o refinamento de Snell, Grienberger calculou π até a trigésima nona casa decimal. Essa foi a última tentativa importante de calcular π pelo método dos perímetros.

Podemos aproximar π da seguinte forma: Vimos que quando o ângulo θ diminui, o erro também cai sensivelmente, de modo que o segmento de tangente AT se aproxima cada vez mais do comprimento do arco AP. Se tomarmos valores para θ cada menores, melhoramos ainda mais a aproximação. Sabemos hoje que a circunferência pode ser calculada como C = 2πr. Mas se temos o raio unitário, C = 2π. Assim, o comprimento C é uma soma de segmentos de tangente AT. Para:

clip_image002[20]

Vejam que se aproxima muito bem de π. Vamos construir uma nova tabela onde temos ângulos em graus, o valor do segmento AT e a aproximação de π.

image [Tabela 2 – Aproximação de π]

Vejam que conseguimos precisão até a 14ª casa decimal para um ângulo θ = 0,01°. Ficamos limitados aos arredondamentos do Excel. Mas com softwares dedicados, podemos calcular π com precisão cada vez melhor!

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática – Howard Eves
[2] http://pt.wikipedia.org/wiki/Willebrord_Snel_van_Royen


Veja mais:

Prisma Ópticos
Uma Breve Cronologia de PI
Newton e a Série Infinita para PI
O Princípio de Fermat e a Refração da Luz no blog Fatos Matemáticos

2 comentários:

  1. Tentei fazer um script para gerar os números mas me pareceu muito redundante a formação do tabelamento pelo seguinte: a coluna para o ângulo deste exemplo, tá em radianos (suponho que esteja) e para dar certo a convergência, temos de passar para graus e para isso fazemos: 360/pi sendo que o valor de pi é justamente o que queremos aproximar ! Me tire esta dúvida.

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    Respostas
    1. É verdade. Vou pensar num método sem o uso do pi.

      Excluir

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