22/02/2012

Retificação da Circunferência (Parte 4)

Ficou provado que é impossível a construção de um quadrado com mesma área que um círculo utilizando instrumentos euclidianos. O que conseguimos são somente boas aproximações. Encontrar um segmento de reta que aproxime $\pi$ também mobiliza muitos matemáticos.

Este método que apresento aqui foi desenvolvido por mim e aproxima $\pi$ em duas casas decimais, levando ao valor de $3,14093$. Vamos ver como se constrói este segmento.

Construção

$1)$ Inicie a construção num eixo ortogonal $xOy$;

$2)$ Descreva a circunferência $C_1$ de centro $O$ e raio $1$ e marque os ponto $A$ e $B$ na intersecção com as retas $Ox$ e $Oy$, respectivamente;

$3)$ Descreva a circunferência $C_2$ de centro $O$ e raio $2OA = 2$ e marque o ponto $C$ na intersecção com a reta $Ox$;

$4)$ Trace a bissetriz do ângulo $AOB$. Assim o ângulo $\theta=45°$;

$5)$ Suba a perpendicular ao eixo $x$ por $C$ e marque o ponto $M$ na intersecção com a bissetriz;

$6)$ Descreva um arco de raio $OM$ centrado em $O$ e marque o ponto $D$ na intersecção com a reta $Ox$;

$7)$ Construindo sucessivas mediatrizes convenientes, encontramos o ponto $P$ em $Oy$ de modo que $OP$ seja $5/16$ do raio de $C_1$;

$8)$ Com raio $OP$ e centro em $D$, descreva um arco marcando o ponto $E$ na intersecção com $Ox$.

$9)$ O Segmento $OE$ aproxima $\pi$ em $3,14093$.

Demonstração


Como o ângulo $\theta=45°$ e $CM$ é ortogonal ao eixo $x$, temos que $OC = CM = 2$. Assim:
\begin{matrix}
OM^2=OC^2+CM^2\\
OM^2=4+4\\
OM=2\sqrt{2}
\end{matrix}
Vejam que $OM = OD$. O segmento $OE = OD + DE$. O segmento $OD$ já encontramos e o segmento $DE = OP = 5/16$. Assim:
\begin{matrix}
OE=OD+DE\\
OE=2\sqrt{2}+\frac{5}{16}\\
OE=3,14093 \cong \pi
\end{matrix}

Veja mais: 

Retificação da Circunferência (Parte 1)
Retificação da Circunferência (Parte 2) - Método de Kochanski
Retificação da Circunferência (Parte 3) - Método de Gelder

7 comentários:

  1. Muito engenhoso, Kleber! Muito bom vc ter compartilhado esta pérola!!

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  2. Acho importante divulgar pequenas ideias. Às vezes alguém poderá se benificiar.
    Um abraço.

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  3. Oi Kleber! Como matemático sofre! Tem que tentar resolver, achar que não dá, provar que não dá e ainda achar um método alternativo. Por falar em sofrer certa vez meu professor de geometria do cursinho confessou-se incapaz de resolver um problema e me passou, era um problema de aparência simples: construir com régua e compasso uma tangente a uma circunferência sob certa condição... Rapaz! o diabo do problema era refratário a tudo que eu conhecia e pior, o problema grudou em mim e eu nele... entrei na faculdade, cursei um ano, tranquei, casei, perguntei, consultei, voltei e...NADA. Quatro anos depois eu estava debruçado sobre o problema e notei: Um ângulo que se formaria se eu resolvesse o problema media 1/3 de um ângulo que estava lá desde o começo então EUREKA! Se eu resolvesse o problema com régua e compasso teria inventado um método para trissecar um ângulo, como isso não é possível, então a construção pretendida também não...Isso é que é sofrer...mas a gente gosta né!

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  4. E como gostamos! O que seria de um matemáticos sem os problemas? Eu, assim como inúmeros outros, já gastei muitas horas a fim de "inventar" um método para trissecção. Claro que desisti. Mas particularmente, este problema da retificação da circunferência eu acho muito interessante e ainda me pego tentando aproximações. Consegui no máximo 2 casas e esta resolução é uma delas. Mas continuo tentando. Quero uma retificação aproximada, levando $\pi$ a 8 casas decimais. Quem sabe algum dia consigo.

    Caso ainda se lembre, poderia postar aqui para todos nós este seu problema. Afinal, somos curiosos e gostamos muito disso!

    Abraços.

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    Respostas
    1. Oi Kleber! Com a idade que estou é difícil pensar sobre um problema mais de 2 horas sem ter uma grande dor de cabeça física mesmo! Os problemas e as invenções da minha vida estão num caderninho. Sou uma nulidade em informática, para se ter uma ideia nunca mandei um e-mail. Vou tentar descrever o problema: Do lado esquerdo de uma folha desenhe uma circunferência, trace uma secante vertical a ela, do lado direito da secante coloque um ponto P. O problema não especificava as distâncias. Pedia-se: Construir uma tangente à circunferência (do lado de cima) de modo que essa tangente encontre a secante em A e faça um ângulo reto com o segmento AP. Quanto à quadratura certa vez pensei num processo iterativo que retificasse um quadrado inscrito e outro circunscrito, depois um octógono inscrito e outro circunscrito, depois um 16-gono etc assim eu teria um intervalo para pi, mas ficou só na intenção. Se for de interesse vou ver se falo com alguém para mandar a solução do problema. Abraço

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  5. Não precise se preocupar. O método de inserir um círculo entre 2 n-ágonos que você mencionou é conhecida. Arquimedes usou muito este método. Tinha me interessado inicialmente no problema da tangente. Vou tentar esboçar alguma coisa encima dos seus dados.

    Obrigado novamente pela resposta!

    Abraços.

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  6. Kleber! Esqueci de te passar alguns detalhes do problema da tangente:O centro da circunferência "O" está em semiplano oposto a P em relação à secante, para visualizar melhor o ângulo triplo faça o seguinte: Seja B a intersecção mais abaixo da circunferência com a secante, trace a reta OB, coloque P nesta reta de modo que OB=BP. Não há quebra lógica nisso visto que o problema era para um lugar qualquer de P então, em particular, seria resolvido para essa nova posição de P

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