06/04/2012

Como Desenhar um Ovo de Galinha com Régua e Compasso (Parte 1)

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Este é o primeiro post de uma série que pretendo publicar aqui no blog sobre a construção geométrica do ovo de galinha. Não são aproximações, são curvas reais dos ovos.

Robert Dixon, em seu livro Mathographics, de 1987, denomina essas curvas ovoides de Ovos Euclideanos, cujo termo tem explicação simples: tem mais a ver com a Ciência Matemática do que com propriamente com pássaros.

As construções baseiam-se em traçados de circunferências, onde arcos de diferentes raios se unem dando a continuidade na curva. Para que haja essa continuidade, há uma técnica simples que vamos aprender rapidamente para prosseguirmos com as construções.

Primeiro caso – as concavidades dos arcos estão voltadas para um mesmo lado: Num segmento de reta C1E, descreva o arco DE com centro em C­1 e raio R1 = C1E. Com centro em C2, localizado em qualquer ponto da reta C1E, e raio R2 = C2E, descreva o arco EF. Vejam que o ponto E é onde ocorre a mudança de raio da curva DEF, mantendo sua continuidade.

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Segundo caso – as concavidades dos arcos estão voltadas para lados opostos: Num segmento de reta C1C2, descreva o arco DE com centro em C1 e raio R1 = C1E, menor que o segmento de reta dado. Com centro em C2 e raio R2 = C2E, descreva o arco EF. Vejam que o ponto E é o ponto de inflexão, ou seja, onde a curva muda a concavidade, sem perder a continuidade.

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Assimilando esses conceitos básicos, já podemos iniciar a construção efetiva do ovo.

Construção

Inicie a construção num eixo ortogonal descrevendo um arco superior centrado na origem marcando os pontos A, A’ e B.

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Com raio igual a A’B, descreva um arco marcando como C a intersecção com o eixo horizontal.

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Com raio igual a OC e centro na origem, descreva uma circunferência, marcando os pontos C’, D e E.

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Com centro em D e raio DE, descreva uma circunferência marcando o ponto F.

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Com centro em B e raio BE, descreva uma circunferência marcando o ponto G.

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Trace um segmento de reta que inicia em A, passe por B e marque como H’ a intersecção com a circunferência de centro em B. Proceda da mesma forma para o segmento que inicia em A’ e passa por B, gerando o ponto H.

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Trace um segmento de reta que inicia em C, passa por D e intercepta a circunferência de centro em D no ponto I’. Proceda da mesma forma para o segmento que inicia em C’ e passa por D, gerando o ponto I.

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Todos os pontos já foram definidos. Basta agora unirmos os arcos de modo contínuo, lançando mão dos dois casos discutidos no início deste post.

Com centro em D, descreva o arco FI’, em vermelho;

Com centro em C, descreva o arco I’A’, em verde;

Com centro em A, descreva o arco A’H’, em azul;

Com centro em B, descreva o arco H’G, em turquesa;

Proceda analogamente para o hemisfério esquerdo da construção.

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Referências:

[1] Mathographics – Robert Dixon


Veja mais:

Como Desenhar um Ovo de Galinha com Régua e Compasso (Parte 1)
Construções Geométrica do PHI
Retificação da Circunferência

13 comentários:

  1. Muito bom, Kleber!
    Obrigada!

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  2. Eu que agradeço seu interesse, Margarida.
    Um abraço!

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  3. Muito ilustrado e explicado. Esta construção geométrica, mostra o quanto a compreensão matemática pode ser útil nos problemas práticos. Parabéns pelo post.

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  4. Verdade Paulo, a matemática está em tudo que podemos ver, ouvir e sentir, basta termos olhos clínicos para isso. Obrigado pelo comentário!

    Abraços!

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  5. Muito legal o texto! Assim que eu tiver tempo vou tentar.
    Gostaria de dar uma sugestão de artigo: fazer um "tutorial" destes de como desenhar o logo da Apple com régua e compasso. O logo da empresa possui relações matemáticas interessantes além de ser simples e elegante. Acho que renderia um bom texto. Aqui vai uma foto para explicar melhor o que estou falando: http://2.bp.blogspot.com/-p5ybAumDsag/TiNjQLA_ixI/AAAAAAAAOMY/FuU9O1ZRAOU/s640/apple+logo.jpg

    A propósito, lhe mandei um e-mail para discutirmos uma possível parceria entre nossos blogs.
    Parabéns pelo execelente artigo! Abraços!!

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  6. Olá Luciano,

    Eu me lembrava que havia relações matemáticas no logo da Apple, mas agora que falou fui ver como se dá. A imagem que encontramos em vários blogs é sempre a mesma e não tráz nenhum detalhe. Vi que tem a espiralde Fibonacci envolvida. Terei que estudá-la com mais tempo para desenvolvre um método de construção. valeu pela dica!

    Abraços.

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  7. Olá, Kleber!!!!

    Pense numa postagem apropriada para essa época!!! Ficou muito boa, muito bem ilustrada e perfeitamente compreensível!!!
    É isso aí, matemática cabe em qualquer época e qualquer lugar!!!!
    Existe aquela questão polêmica sobre: "quem apareceu primeiro, o ovo ou a galinha"??? Agora acredito que com a postagem aqui, isso ficou resolvido!! Primeiro a galinha teve aula contigo, sobre a construção de um ovo!!! E aprendeu muito bem!! Até ensinou para os coelhos!!!! KKKKKKKKKKKKK!!!!!!!!!

    Um abraço!!!!!

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  8. eh eh eh eh eh...Francisco!

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  9. Valdir! Sempre exagerando em seus comentários heim? Mas é bem legal mesmo a construção do ovo. Tem outros tipos que vou ver se vou postando devagarinho.

    Quanto à questão de prioridade, acredito que a galinha veio antes mesmo. Acredito na teoria darwinista de que os seres foram se adaptando ao ambiente em constante modificação, dando a evolução das espécies. Mas... quem sabe?

    Agora essa hitória de coelhos botarem ovos de chocolate...

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  10. Oi, Kleber! Os esquemas de construçao do ovo são tão estéticos quanto o produto final. Se esmerou bem neste trabalho!

    Quanto ao ovo e a galinha ( e vice-versa) encontrei alguma coisa:
    http://www.gazetadopovo.com.br/mundo/conteudo.phtml?id=567256

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  11. Obrigado Aloísio pelo link. Talvez haja uma certa razão em imaginar que houvessem certos tipos de ovos degenerados que num belo dia... pluft!, acabaram vingando. Por outro lado, como surgiram tais ovos? Difícil chegar numa conclusão. Acho que essa história de quem veio primeiro, vai demorar ainda para ser resolvida.

    Abraços.

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  12. Oi Kleber! Sobre o problema do ovo e a galinha: Seja[An} uma PG de razão r=(-1) e seja An=1 para algum n. Determine A1. Bom, sabemos que An=A1*[r^(n-1)]=> 1=A1[(-1)^(n-1)]=> A1=1/[(-1)^(n-1)]=> A1=1 se n é ìmpar e A1=-1 se n é par. Portanto falta dado sobre n para determinarmos A1. Para o caso do ovo e da galinha acho que falta dado também. Desculpe a brincadeira. Obrigado.abçs!

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  13. Não esquenta Tavano. É uma brincadeira saudável. Essa quetão do ovo ou da galinha... talvez essa sua analogia com a PG tenha fundamento, mas o difícil é saber qual peça está faltando. Enquanto isso, digo que posso criar um ovo com régua e compasso somente com linhas contínuas, já a galinha...

    Abraços!

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