29/07/2012

Um Problema de Língua Portuguesa

Nós, matemáticos que somos, apesar de adorarmos os números, temos a obrigação de dominar nossa língua pátria. Pois como, então, poderíamos transmitir nossas ideias se as expressássemos mal? Este breve artigo tem como objetivo, mostrar como o mau uso da Língua Portuguesa, especificamente o uso da vírgula, pode trazer resultados inesperados.

A palavra vírgula, em sua origem latina, é um diminutivo: “virga” = vara + “ula” = sufixo diminutivo. Significa “varinha”, por isso tem sua forma lembrando um pequeno ramo.

A vírgula é utilizada para expressar uma pausa; mas nem toda pausa recebe vírgula, como por exemplo: “Eu fui e voltei”.

Segundo Celso Luft (1921 – 1995), a pontuação em Língua Portuguesa obedece a critérios sintáticos, mas não prosódicos. A vírgula é um recurso da escrita que serve para separar palavras, organizando-as e deixando claras suas relações sintáticas.

A Matemática é a ciência do raciocínio lógico e abstrato; é a ciência que estuda quantidades, medidas, espaços, estruturas e variações. Com ela, podemos formular conjecturas e, por meio de deduções rigorosas a partir de axiomas e definições, estabelecer novos resultados.

Hoje, a Matemática trabalha com seus símbolos próprios. Mas nem sempre foi assim: antigamente usava-se a língua corrente para construir as ideias matemáticas, simplesmente pela falta de símbolos matemáticos adequados. Viète (1540 – 1601) introduziu a sistemática da primeira notação algébrica, em seu livro Em Isagoge analyticam artem publicado em Tours em 1591. Em seu tratado In artem analyticam Isagoge Viète demonstrou o valor dos símbolos introduzindo letras que representam incógnitas. Ele sugeriu o uso de letras como símbolos para quantidades conhecidas e desconhecidas. Ele usava vogais para as incógnitas e consoantes para quantidades conhecidas. A convenção em que as letras perto do início do alfabeto representam quantidades conhecidas enquanto letras perto do fim representar quantidades desconhecidas foi introduzida mais tarde por Descartes em La Géométrie. Desde então foram sendo criados e aprimorados os símbolos para melhorar a exposição dos trabalhos desenvolvidos pelos matemáticos.

Em 1922, quando dois matemáticos, Adolf Fraenkel (1891 – 1965) e Thorolf Skolem (1887 – 1963), propuseram que a linguagem corrente fosse banida da Matemática e substituída por uma linguagem formal, construída por seus símbolos e regras de sintaxe necessárias para conduzir o raciocínio dedutivo.

Nós professores de Matemática devemos estar atentos àquilo que escrevemos, pois se não conseguirmos expressar corretamente um problema em língua corrente, podemos provocar interpretações diferentes por parte dos alunos.

Vejamos um exemplo do mau uso da vírgula neste simples problema:

“O dobro de um número mais três vezes ele mesmo dividido por dois mais um é igual ao próprio número mais dois dividido por três”

Dependendo de como o problema acima for interpretado, poderá gerar resultados diferentes. Por isso é importante empregar a vírgula corretamente. Vejamos algumas interpretações:

Problema 1: O dobro de um número, mais três vezes ele mesmo dividido por dois, mais um é igual ao próprio número, mais dois dividido por três.

Traduzindo em linguagem matemática, obtemos:

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Resolvendo esta equação, encontramos:

clip_image002[4]

Graficamente, temos:

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[Figura 1]

A equação original pode ser desmembrada em duas: a do lado esquerdo em azul e a do lado direito em vermelho. A abscissa do ponto de intersecção entre as duas curvas é a raiz da equação original.

Problema 2: O dobro de um número mais três vezes ele mesmo, dividido por dois, mais um é igual ao próprio número, mais dois dividido por três.

Traduzindo em linguagem matemática, obtemos:

clip_image002[6]

Resolvendo a equação, encontramos:

clip_image002[8]

Graficamente, temos:

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[Figura 2]

Problema 3: O dobro de um número mais três vezes ele mesmo, dividido por dois mais um é igual ao próprio número mais dois dividido por três.

Traduzindo em linguagem matemática, obtemos:

clip_image002[10]

Resolvendo a equação, obtemos:

clip_image002[12]

Graficamente, temos:

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[Figura 3]

Problema 4: O dobro de um número, mais três vezes ele mesmo dividido por dois, mais um é igual ao próprio número mais dois, dividido por três.

Traduzindo para linguagem matemática, obtemos:

clip_image002[14]

Resolvendo a equação, obtemos:

clip_image002[16]

Graficamente, temos:

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[Figura 4]

Problema 5: O dobro de um número mais três vezes ele mesmo, dividido por dois, mais um é igual ao próprio número mais dois, dividido por três.

Traduzindo para linguagem matemática, obtemos:

clip_image002[18]

Resolvendo a equação, obtemos:

clip_image002[20]

Graficamente, temos:

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[Figura 5]

Problema 6: O dobro de um número mais três vezes ele mesmo, dividido por dois mais um é igual ao próprio número mais dois, dividido por três.

Traduzindo em linguagem matemática, obtemos:

clip_image002[22]

Resolvendo a equação, obtemos:

clip_image002[24]

Graficamente, temos:

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[Figura 6]

Vimos que o emprego da vírgula pode gerar interpretações diferentes de um mesmo problema, dependendo de como é aplicada na frase. Devemos nos atentar durante o processo de escrita para minimizar os erros e deixar mais claro o que pretendemos.


Para saber mais sobre o emprego da vírgula:

http://www.mundoeducacao.com.br/gramatica/uso-virgula.htm
http://www.portuguesnarede.com/2009/01/vrgula.html

Veja mais:

A Arte de Armar Equações
Como Resolver um Problema
O Método do Desfazer

26/07/2012

Aspectos Geométricos para Multiplicação de Frações

Se desejarmos multiplicar duas frações, hoje fazemos automaticamente, multiplicando os numeradores e os denominadores:

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Para ilustrar esse conceito de multiplicação, vamos usar círculos para podermos visualizar todo o procedimento.

Seja a multiplicação entre duas frações:

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Começamos tomando uma das frações; pode ser 1/2 ou 2/3. Vamos tomar a fração 1/2 como referência. Dividimos um círculo em partes iguais ao denominador desta fração, que no caso é dois, e hachuramos partes iguais ao seu numerador, no caso 1:

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[Figura 1]

Agora, subdividimos cada uma dessas partes em partes menores em quantidades iguais ao denominador da segunda fração, que neste caso é 3:

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[Figura 2]

Agora, para cada parte hachurada, tomamos a quantidade de subdivisões iguais ao numerador da segunda fração, que no caso é 2:

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[Figura 3]

Desta forma, o círculo original foi dividido em 2 partes e depois cada parte subdividida em três, totalizando 6 subdivisões, tomamos duas delas, ou seja: 2/6:

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[Figura 4]

Que vale o produto:

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Desta forma, se quisermos uma multiplicação entre duas frações, seguimos os passos:

a) Tomamos uma das frações;

b) Dividimos um círculo em partes iguais ao seu denominador;

c) Hachuramos partes iguais ao seu numerador;

d) Subdividimos cada uma dessas partes em “partes menores” iguais ao denominador da segunda fração;

e) Tomamos, para cada parte hachurada, a quantidade de subdivisões iguais ao numerador da segunda fração.

Em relação a frações, podemos ter frações próprias e frações impróprias.

Definição 1: Fração própria é aquela onde o numerador é menor que seu denominador:

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Exemplos:

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Definição 2: Fração imprópria é aquela onde o numerador é maior que seu denominador:

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Exemplos:

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Desta forma, no caso da multiplicação entre duas frações, podemos ter três casos distintos:

Caso 1: As duas frações são próprias:

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Caso 2: Uma fração é própria e a outra imprópria:

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Caso 3: As duas frações são impróprias:

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Vamos exemplificar agora, cada um dos três casos e ver as diferenças em cada procedimento.

Exemplo 1: Seja multiplicar as frações:

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As duas frações são próprias. Vamos tomar como referência a fração 2/3. Assim, dividimos um círculo em três partes e hachuramos duas delas:

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[Figura 5]

Subdividimos cada parte em cinco partes iguais:

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[Figura 6]

Tomamos a quantidade de 4 subdivisões para cada parte hachurada:

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[Figura 7]

O produto desejado é a quantidade de subdivisões selecionadas, dividida pela quantidade de subdivisões totais, ou seja, temos 8 subdivisões selecionadas de 15 totais. Assim:

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[Figura 8]

Que vale o produto:

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Exemplo 2: Seja multiplicar as frações:

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As duas frações são próprias. Utilizamos o mesmo procedimento. Primeiramente tomamos uma das frações como referência. Vamos tomar a fração 1/2. Assim, dividimos um círculo em duas partes e hachuramos uma delas:

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[Figura 9]

Subdividimos cada metade em partes iguais ao denominador da outra fração, que no caso é oito:

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[Figura 10]

Tomamos sete partes das oito subdivisões:

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[Figura 11]

Que vale o produto:

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Exemplo 3: Seja multiplicar as frações:

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Neste exemplo, temos a multiplicação entre uma fração própria e uma imprópria. Nestes casos, tomamos como referência a fração imprópria, pois fica mais fácil a visualização. Utilizamos, então, a fração 3/2. Dividimos um círculo em duas partes iguais e hachuramos três:

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[Figura 12]

Ops! Se temos duas partes e precisamos hachurar três, faltará uma; então, adicionamos mais um círculo dividido em duas partes:

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[Figura 13]

Subdividimos cada uma dessas três partes hachuradas em dois, que é o denominador da segunda fração:

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[Figura 14]

Agora, tomamos uma subdivisão de cada parte:

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[Figura 15]

Que vale o produto:

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Exemplo 4: Seja multiplicar as frações:

clip_image002[34]

Esta é uma multiplicação entre uma fração própria e uma imprópria. Tomamos a fração 5/2 como referência. Então, dividimos os círculo em duas partes iguais:

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[Figura 16]

Subdividimos cada parte em três, que é o denominador da segunda fração:

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[Figura 17]

Tomamos duas subdivisões de cada parte hachurada:

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[Figura 18]

Que vale o produto:

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Exemplo 5: Seja multiplicar as frações:

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Neste caso, temos a multiplicação entre duas frações impróprias. Vamos tomar a fração 5/4 como referência. Assim, dividimos cada círculo em quatro partes iguais:

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[Figura 19]

Devemos hachurar cinco partes, mas como o círculo só possui quatro partes adicionamos mais círculos, quantos forem necessários:

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[Figura 20]

Agora, devemos subdividir cada parte em duas, conforme indica o denominador da fração 3/2:

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[Figura 21]

Temos de tomar três subdivisões de cada parte, conforme indica o numerador da fração 3/2, mas cada parte só possui duas subdivisões. Então, adicionamos quantos círculos forem necessários:

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[Figura 22]

Temos então que cada círculo foi subdividido em 8 partes; e temos 15 subdivisões selecionadas. Logo, o produto desejado é:

Exercícios para casa: Efetue as multiplicações utilizando o conceito geométrico:

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Veja mais:

Trabalhando com Frações
O Método da Gelosia para Multiplicações
Método da Multiplicação dos Camponeses Russos
Um Método para a Multiplicação Entre Dois Números

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