11 de abr de 2013

Os $10$ Problemas de Apolônio

Apolônio nasceu em Perga, na Panfília (sul da Ásia Menor), mas tudo indica que foi educado em Alexandria e parece ter passado algum tempo ensinando lá. Passou um certo tempo em Pérgamo, onde havia uma biblioteca só inferior à de Alexandria. Pouco se sabe sobre sua vida e não sabe-se as datas precisas de seu nascimento e morte, sendo sugeridos os anos de $(262-190a.C.)$.

Seu trabalho mais famoso e influente sem dúvida é o tratado sobre Cônicas. Outro trabalho, dos dois que se preservara, é Dividir em uma razão, que era conhecido apenas pelos árabes até $1706$, quando Edmund Halley publicou uma tradução para o latim.

O que se sabe sobre seus trabalhos perdidos é baseado em grande parte nos resumos do comentador do século $IV$, Pappus. Um desses trabalhos é o desenvolvimento de Apolônio de um esquema numérico para expressar números grandes, que é descrito na última parte do Livro $II$ da Coleção Matemática de Pappus.

Em uma obra perdida chamada Resultado rápido, Apolônio parece ter ensinado processos rápidos de calcular, onde obteve uma aproximação para $\pi$ melhor que a dada por Arquimedes, encontrando um valor de $3,1416$.

O livro $VII$ da Coleção Matemática de Pappus de Alexandria é um guia destinado a facilitar a leitura de outra coleção de textos, dita do Lugar Analisado, composta por $12$ tratados de quatro autores: Euclides, Apolônio, Aristeu e Eratóstenes, onde os escritos por Apolônio representam quase a metade da coleção ($14$ de $33$). 

Trata-se de uma coleção reunida em torno da resolução de problemas de lugares geométricos pela via da análise, explorando suas propriedades e consequências e busca reduzir a solução a partir daquilo que era conhecido. Esse método, observa Pappus, dirige-se àqueles que dominam os Elementos (de Euclides). 

Infelizmente, menos de um terço da coleção se conservou. No entanto, no século $XVII$, o passatempo preferido dos geômetras era o de reconstituir obras de Geometria perdidas e se interessaram particularmente pelo livro $VIII$ da Cônicas de Apolônio, pelos Porismas de Euclides e pelo tratado da Tangências de Apolônio.

Pappus explica como é possível agrupar os problemas desse último tratado:
Dados sucessivamente três elementos quaisquer entre pontos, retas e círculos, com certas posições, traçar um círculo que seja tangente a cada um desses elementos.
Este problema envolve dez  casos, desde os mais fáceis, como os de três pontos ou o de três retas, até o mais difícil de todos, que é traçar um círculo que seja tangente a três círculos dados. As soluções de Apolônio não chegaram até nós, mas podem ser reconstruídas com base nas informações de Pappus. No entanto, estudiosos dos séculos $XVI$ e $XVII$ pensavam que Apolônio não tinha resolvido o último caso, por isso consideravam como um desafio às suas capacidades. Newton, em sua Arithmetica universalis, foi um dos que deram uma solução, usando régua e compasso apenas.

Hoje, esse tratado é chamado de Os $10$ Problemas de Apolônio, sendo o círculo tangente a outros três considerados o problema original. Vejamos cada um deles:

Problema $1$: $[PPP]$ Problema dos três pontos.


Problema $2$: $[RRR]$ Circunferência tangente a três retas.


Problema $3$: $[RPP]$ Uma reta e dois pontos.


Problema $4$: $[RRP]$ Duas retas e um ponto.


Problema $5$: $[CPP]$ Uma circunferência e dois pontos.


Problema $6$: $[CCP]$ Duas circunferências e um ponto.


Problema $7$: $[CRR]$ Uma circunferência e duas retas.


Problema $8$: $[CRP]$ Uma circunferência, uma reta e um ponto.


Problema $9$: $[CCR]$ Duas circunferências e uma reta.


Problema $10$: $[CCC]$ Três circunferências (problema original).

Referências:

[1] História da Matemática - Carl Boyer & Uta Merzbach - 3ª Ed. - Editora Blucher
[2] A Ciência na Antiguidade Volume 3 - Scientific American - Editora Duetto 


Veja mais: 

Os Elementos de Euclides
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
O Teorema de Pitágoras Segundo Euclides
Apolônio de Perga  no blog Fatos Matemáticos

5 comentários:

  1. Oi, kleber

    Tenho a conjectura de que, dados n pontos, sempre é possível encontrar uma curva algébrica de n-1 grau que passe por eles. No caso de três pontos, temos o exemplo do círculo e da parábola.

    Abraços

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    Respostas
    1. Com a hipótese de que as abscissas de dois pontos quaisquer não sejam iguais, a resposta para esta pergunta é o polinômio interpolador de Lagrange. Veja mais neste link http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/03/interpolacao-polinomial-parte-3.html

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    2. Obrigado Aloísio pelo comentário. O exemplo que o Paulo deu acima corrobora sua conjectura. Para uma leitura adicional sobre o polinômio interpolador de Lagrange, veja:

      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/03/polinomio-interpolador-de-lagrange.html

      Um abraço!

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  2. Olá Kleber, esta será uma bela série e quero acompanhá-la de perto. Este primeiro episódio ficou muito bem feito. Parabéns por esta iniciativa e pelo link citado acima.

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  3. Vou tentar construir e demonstrar cada um dos casos acima. Não será uma tarefa muito fácil, mas tentarei.

    Fico impressionado de como é difícil encontrar determinados assuntos em páginas brasileiras.

    Acho que será uma boa série de postagens.

    Abraços.

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