13/10/2010

Método de Integração por Substituição

Primeiramente, vamos recordar a regra da cadeia onde temos:

clip_image002

A composição então é considerar:

clip_image004

Se as funções envolvidas são diferenciáveis, então:

clip_image006

Consideremos a antiderivada da relação acima:

clip_image008

Onde o primeiro membro sugere a aplicação do teorema fundamental do cálculo, onde:

clip_image010

Se fizermos Se fizermos y = g (x) e usarmos novamente o conceito do teorema fundamental do cálculo na relação (3), obtemos:

clip_image012

Substituindo (4) em (2), obtemos:

clip_image014

Aqui já vemos como funciona o método de substituição ou de mudança de variável. Podemos reescrever (5) em função de h como:

clip_image016

Para melhor ilustrar, vamos resolver alguns exemplos:

  clip_image018

Primeiramente fazemos a mudança de variável:

clip_image020

e, consequentemente:

clip_image022

clip_image024

Assim temos:

clip_image026

clip_image028

No entanto, y = x2, logo:

clip_image030

clip_image032

Fazemos a mudança de variável, onde:

clip_image020[1]

clip_image022[1]

clip_image024[1]

Assim temos:

clip_image034

clip_image036

Substituímos a variável y:

clip_image038

clip_image040

Vamos resolver esta integral pelo método da substituição, apesar de haver outras formas. Primeiramente fazemos a mudança de variável conveniente:

clip_image042

clip_image044

clip_image046

Assim temos:

clip_image048

clip_image050

clip_image052

Substituímos a variável y:

clip_image054

clip_image056

Primeiramente fazemos a mudança da variável:

clip_image058

E consequentemente:

clip_image060

clip_image062

Assim temos:

clip_image064

clip_image066


Veja mais:

Método de Integração por Partes
O Cálculo Integral
Demonstração da Integral de ln(x)
Estratégia ao Integrar por Partes no blog Fatos Matemáticos
Integral Definida e o Limite das Somas no blog Fatos Matemáticos


16 comentários:

  1. kkk
    tenho um post com o mesmo tema no rascunho do blog agora fico sem jeito de postar KK.

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  2. Publica e coloca o link do meu post e depois faço o mesmo com o seu! ;)

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  3. Ok, obrigado,

    É certo que o post do Baricentro ficou mais detalhado que o meu :)

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  4. Muito bom o post Kebler. Não tinha visto ainda desta forma. Seria interessante também para o futuro fazer um post sobre a técnica de integração por frações parciais, substituição trigonométrica, etc.

    Parabéns!!!

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  5. Obrigado por citar os posts do meu blog. Abraços!!

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  6. Obrigado Paulo. Vou pesquisar sobre suas sugestões para fazer um post. Quero também fazer um post sobre o método de substituição em integrais definidas.

    Abraços!

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  7. Olá prof Kléber, parabéns pelo seu dia.
    Um abraço!

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  8. Obrigado Prof Ju por sua lembraça e comntário! Parabéns a você também pelo seu dia!
    Um abraço!

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  9. $e^x/(1+e^x)dx$

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  10. Eu prefiro fazer a substituição da variável original numa função:

    $$ \int f(x)dx=\int f(ln(u))\frac{1}{u}du $$

    eu acho que desta forma temos uma visão melhor do conceito da substituição.

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  11. ótima explicação!

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  12. Blog excelente , parabéns!

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  13. muito obrigada! esclareceu minha dúvidas

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  14. e se eu tiver uma raiz quadrada? como faco?

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