18/11/2010

Reta Tangente a uma Curva

Vamos estudar primeiramente este assunto sobre retas tangentes a uma curva para que num próximo post possamos estudar mais detalhadamente o Conceito de Derivada.

O problema de traçar a reta tangente a uma curva pode ser resolvido facilmente pela Geometria Elementar se esta curva for uma circunferência:

S1) A tangente à circunferência num ponto P é a reta que passa por P, perpendicularmente ao raio por este ponto;

S2) A tangente à circunferência no ponto P é a reta que só toca a circunferência nesse ponto.

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[Figura 1]

No entanto, para uma curva genérica de uma função f (x), a situação é diferente. A solução S1 só se aplicaria se soubéssemos o “raio” de uma curva no ponto P:

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[Figura 2]

A solução S2 também não é adequada a uma curva genérica, pois uma reta que toca uma curva uma única vez, nem sempre merece o nome de tangente:

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[Figura 3]

No entanto, uma reta tangente pode tocar a curva em mais de um ponto:

image [Figura 4]

Temos, então, que dar uma definição de reta tangente aplicável a uma curva genérica f (x), não apena para uma circunferência.

Vamos supor o gráfico de uma função f (x) onde x e f (x) sejam as coordenadas no ponto P onde vamos traçar a tangente. Para isso, vamos considerar um outro ponto Q do gráfico de f (x), cuja abscissa é dada por x + Δx e sua ordenada dada por f (x + Δx).

image [Figura 5]

O declive da reta secante PQ é dada pelo quociente dado em (1) que é chamado de razão incremental.

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Essa designação de razão incremental se justifica pelo fato de Δx ser um incremento dado à abscissa de P para obtermos a abscissa de Q, e que f (x + Δx) – f (x) é o incremento sofrido pela função em consequência do incremento Δx da variável independente.

Observando ainda a figura 5, vamos supor que o ponto P continue fixo enquanto o ponto Q aproxima-se de P, passando por sucessivas posições Q1, Q2, Q3, ... Logo, a secante PQ assume as posições PQ1, PQ2, PQ3, ... O que se espera é que a razão incremental, que é o declive da secante, se aproxime de um determinado valor m, à medida que o ponto Q se aproxima de P. Desta forma, podemos definir a reta tangente à curva no ponto P sendo aquela que passa por P e cujo declive ou coeficiente angular é igual a m.

O modo de aproximar Q de P é fazer Δx cada vez mais próximo de zero na razão incremental. Isso equivale a dizer que estamos fazendo Δx tender a zero, ou simbolicamente Δx → 0. Também se diz que Δx tende a zero ou que Δx está tendendo a zero.

Se observarmos melhor, vemos que Δx pode assumir valores positivos e negativos. Se imaginarmos Δx assumindo valores exclusivamente positivos, então o ponto Q estará se aproximando de P pela direita, como ilustra a figura 5. Para que Δx assuma valores exclusivamente negativos, o ponto Q estará se aproximando de P pela esquerda, como mostra a figura 6:

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[Figura 6]

Quando Δx → 0 e a razão incremental se aproxima de um valor finito m, dizemos que m é o limite da razão incremental com Δx tendendo a zero. Então escrevemos:

clip_image004

Observamos aqui que Δx sempre é diferente de zero na razão incremental, pois esta razão não tem sentido para Δx = 0, já que teríamos 0/0.

A fim de melhor fixar o conceito da reta tangente como derivada de uma função, vamos ver alguns exemplos numéricos e, enfim, uma generalização.

Exemplo 1: vamos traçar a reta tangente à parábola y = f (x) = x2 no ponto P de abscissa x = 1. Então, y = f (1) = 12 = 1 e P = (1,1). Temos:

clip_image006

Temos que o declive da secante dado em (1) é:

clip_image008

E se associarmos (3) com (4), obtemos:

clip_image010

A expressão 2 + Δx aproxima o valor 2 quando Δx → 0, de forma que podemos escrever:

clip_image012

Encontrado o valor de m = 2, podemos escrever a equação da reta tangente à curva no ponto P = (1,1):

clip_image014

clip_image016

clip_image002[4]

Essa reta com inclinação m = 2, corta o eixo Ox no ponto de abscissa x = 1/2, e o eixo Oy no ponto da ordenada y = – 1.

Graficamente temos:

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[Figura 7]

Exemplo 2: Vamos repetir o mesmo exemplo anterior num outro ponto da curva, digamos no ponto de abscissa x = 3/2. Então:

clip_image020

Então:

clip_image022

De forma que:

clip_image024

E a razão incremental neste caso é:

clip_image026

Essa expressão 3 + Δx aproxima o valor 3 quando Δx → 0. De posse desse valor m = 3, podemos escrever a equação da reta tangente à curva no ponto considerado P = (3/2 , 9/4):

clip_image028

Ou seja:

clip_image030

Essa reta, com inclinação m = 3, corta o eixo Oy no ponto de coordenada y = – 9/4 = – 2,25, como ilustra o gráfico abaixo:

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[Figura 8]

Exemplo 3: Vamos considerar agora o problema de traçar a reta tangente num ponto genérico da curva, um ponto de abscissa x = a, onde a é um número qualquer.

clip_image032

clip_image034

Temos que:

clip_image036

O limite dessa expressão com Δx → 0 é 2a. Portanto, a reta tangente no ponto P = (a , a2) é dada por:

clip_image038

Ou seja,

clip_image040

A figura abaixo ilustra uma situação em que a < 0:

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[Figura 9]


Veja mais:

Zeros Reais de Funções Reais
Aplicação de Derivadas para Determinar Máximos e Mínimos
Alguns Fatos da Tangente e x no Blog Fatos Matemáticos
O Cálculo de Isaac Newton - Parte 1 e Parte 2 no Blog Fatos Matemáticos

3 comentários:

  1. Muito bem explicado o conceito de reta tangente. Parabéns pelo post e muito obrigado pelo link.

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  2. Olá Paulo, obrigado pelo comentário. Num próximo post vou falr sobre o conceito de derivada, então achei que seria interessante um estudo sobre a reta tangente.

    Um abraço!

    ResponderExcluir
  3. Ótima explicação!

    ResponderExcluir

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