20/11/2010

Fração Geratriz de Dízima Periódica Através de PG

Vimos em outra oportunidade como determinar uma fração geratriz de dízima periódica utilizando o método de múltiplos. Neste post, vamos aprender a utilizar o conceito da PG para determinarmos a fração geratriz.

Primeiramente, vamos relembrar que a fórmula para determinar a soma dos termos de uma PG infinita é dada por:

clip_image002

Vamos tomar alguns exemplos que foram utilizados no post sobre Fração Geratriz através de múltiplos, para efeito de comparação.  

Exemplo 1: Determinar a fração geratriz da dízima periódica 0,121212...

Podemos reescrever a dízima em forma de soma de frações:

clip_image004

Temos que o primeiro termo da PG infinita é:

clip_image006

E a razão desta PG é dada por:

clip_image008

Aplicaremos estes valores na fórmula da soma dos termos dada em (1):

clip_image010

Exemplo 2: Determinar a fração geratriz da dízima periódica 1,484848...

Vamos reescrever a dízima em forma de soma de frações:

clip_image012

Separamos a parte inteira e trabalharemos somente com a parte fracionária. Temos que o primeiro termo da PG infinita é:

clip_image014

E a razão desta PG é:

clip_image008[1]

Aplicaremos estes valores na fórmula da soma dos termos dada em (1):

clip_image016

Agora, somamos o resultado encontrado em (5) com a parte inteira:

clip_image018

Exemplo 3: Determinar a fração geratriz da dízima periódica 1,06818181...

Vamos reescrever a dízima em forma de soma de frações:

clip_image020

Notamos que neste exemplo, além da parte inteira, contém uma parte decimal não periódica.

Separamos a parte inteira e trabalharemos somente com a parte fracionária. Temos que o primeiro termo da PG infinita é:

clip_image022

E a razão desta PG é:

clip_image008[2]

Agora, aplicamos estes valores na fórmula da soma dos termos da PG infinita:

clip_image002

Somamos o resultado encontrado em (7) com a parte inteira da dízima e com a parte não periódica:

clip_image026



Veja Mais:

Fração Geratriz de Dízimas Periódicas
Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Finita
Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Infinita
Raízes em Progressões no Blog Fatos Matemáticos


Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Leia a política de moderação do blog. Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

8 comentários:

  1. Muito bom o post parceiro. Fica a dica de fazer um post sobre PG, provando as fórmulas de soma finita e infinita. Obrigado pelo link citado. Abraços!

    ResponderExcluir
  2. Olá parceiro. Dica aceita. Na verdade, estava com esse material à mão. Logo preparo um post.

    Forte abraço!

    ResponderExcluir
  3. Olá,acho que teve um pequeno erro no terceiro exemplo,quando foi colocado 4 noves ao invés de 2.Mas de qualquer formao seu bog é foda.Abraços !

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá amigo. Tem razão. Já foi corrigido. Obrigado por relatar o erro.

      Um abraço!

      Excluir
  4. Muito bom, o seu blog!

    ResponderExcluir
  5. E se eu tivesse por exemplo o número 33,323232....?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Escrevemos 33,323232... como:
      $$32 + \frac{32}{100}+\frac{32}{10000}+{32}{1000000}+\ldots$$
      Separamos a parte inteira da fracionária, sendo o primeiro termo da PG:
      $$a_1 = \frac{32}{100}$$
      cuja razão é:
      $$q = \frac{1}{100}$$
      Aplicando na fórmula da soma dos termos de uma PG:
      $$S_n = \frac{a_1}{1-q}$$
      obtemos:
      $$S_n = \frac{\cfrac{32}{100}}{1-\cfrac{1}{100}} = \frac{\cfrac{32}{100}}{\cfrac{99}{100}} = \frac{32}{100}\cdot\frac{100}{99}=\frac{32}{99}$$
      Somando à parte inteira:
      $$33 + \frac{32}{99} = \frac{3299}{99}$$

      Excluir

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog