Fração Geratriz de Dízimas Periódicas

Um número é dito irracional se não for possível representá-lo sob a forma de uma fração do tipo:

Exemplos de números irracionais são os famosos números:

π (pi) = 3,141592...

e (base do logaritmo natural) = 2,71828183...

Se observarmos a parte decimal desses números, não encontraremos um padrão. Não há uma repetição de uma sequência numérica em toda sua expansão decimal.

Em relação à π é interessante que a sequência 314159, dos seis primeiros algarismos de π, aparece seis vezes nos primeiros 10 milhões de dígitos de sua expansão e a sequência 0123456789 não aparece nunca.

Analogamente, a sequência 271828 dos seis primeiros algarismos de e, base do logaritmo natural, ocorre oito vezes nos primeiros 10 milhões de dígitos de sua expansão decimal.

Quando tivermos uma normalidade na expansão de um número, este número será chamado de dízima periódica, pois há uma periodicidade, uma repetição de uma determinada sequência numérica. Por exemplo:

a) 1,324324324...

b) 0,0333...

Estes números pertencem ao conjunto dos números racionais, pois, nestes casos, conseguimos expressá-los através de uma fração. Esta fração é chamada de fração geratriz de uma dízima periódica. No entanto, sua representação decimal não é exata.

As dízimas periódicas podem ser classificadas como simples ou compostas.

 

Dízimas Periódicas Simples

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Numa dízima periódica simples, o período (que é a sequência numérica que se repete) vem logo à direita da vírgula, por exemplo:

 

Dízimas Periódicas Compostas

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Numa dízima periódica composta, entre a vírgula e o período existe um ou mais algarismos que não pertencem ao período (não se repetem), que é chamado de parte não-periódica, por exemplo:

Vamos, agora, ver como determinar uma fração geratriz de dízimas periódicas simples e compostas.

Vamos dividir as classes das dízimas em 3 casos para facilitar o andamento deste estudo:

· Simples com a parte inteira = 0

· Simples com a parte inteira > 0

· Compostas, onde existe uma parte não-periódica entre a vírgula e o período

 

1º Caso:

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Determinação de uma fração geratriz de uma dízima periódica simples com a parte inteira = 0

1) Vamos determinar a fração geratriz da dízima 0,222... . Inicialmente, vamos chamar de x a fração geratriz. Então teremos:

A técnica utilizada para determinarmos a fração geratriz é de encontrar múltiplos convenientes de modo a eliminar a parte decimal infinita. Vejam:

Se o período da dízima for composto de apenas 1 algarismo, então multiplicamos (1) por 10. Vejam a associação: 1 algarismo = 1 zero.

Multiplicamos (1) por 10, logo:

Podemos desmembrar o segundo membro como:

Substituímos (1) em (2) e obtemos:

2) Vamos, agora, encontrar a fração geratriz de uma dízima cujo período é composto pro dois algarismos, por exemplo 0,121212... . Aplicamos a mesma técnica de encontrarmos múltiplos, para assim, eliminarmos a parte decimal infinita. Fazemos:

Se o período da dízima for composto por 2 algarismos, então multiplicamos (4) por 100. Vejam a associação: 2 algarismos = 2 zeros.

Então multiplicamos (4) por 100:

Desmembramos o segundo membro assim:

Substituímos (4) em (5):

 

2º Caso:

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Determinação de uma fração geratriz de uma dízima periódica simples com a parte inteira > 0

A técnica utilizada aqui é a mesma do caso anterior, só temos que considerar que a parte inteira é maior que zero.

3) Vamos determinar a fração geratriz da dízima 1,444..., cuja parte inteira é 1 e o período é 4 (1 algarismo). Fazemos:

Como o período é composto de 1 algarismo, multiplicamos (7) por 10:

Desmembramos o segundo membro:

Vejam aqui a sutileza: para separarmos a parte decimal infinita, fazemos:

Substituímos (7) em (8):

4) Vamos, agora, determinar a fração geratriz da dízima periódica 1,484848..., cuja parte inteira é igual a 1 e o período é igual a 48 (2 algarismos). Fazemos:

Multiplicamos (10) por 100:

Desmembramos o segundo membro:

(Vejam que fizemos 148,484848.. – 1,484848.. para encontrarmos 147)

Substituímos (10) em (11):

 

3º Caso:

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Determinação de uma fração geratriz de uma dízima periódica composta

Aqui envolveremos as dízimas compostas com parte inteira qualquer. Para a determinação das frações geratrizes, utilizamos o mesmo princípio de encontrar múltiplos convenientes. Notem que, após obtermos o primeiro múltiplo de uma dízima periódica composta, encontraremos uma dízima simples onde aplicaremos novamente a técnica dos múltiplos.

5) Como exemplo, vamos determinar a fração geratriz de 0,1555...

Aqui, a parte não periódica (encontrada entre a vírgula e a parte periódica) é composta por 1 algarismo, então, multiplicamos (13) por 10:

Vejam que com a técnica de obter múltiplos, encontramos uma dízima simples dentro da original. Podemos reescrever (14) como:

onde y = 0,555...

Já sabemos como determinar a fração geratriz de uma dízima simples pelo método dos múltiplos, então temos:

Agora, substituímos (17) em (15):

6) Agora que já sabemos determinar uma fração geratriz de uma dízima periódica composta, vamos determinar a mesma fração da dízima 0,1555... através de um dispositivo prático (múltiplos) evitando mudanças de variáveis. Seja a dízima 0,155...:

Primeiramente, se observarmos a parte não periódica, veremos que é contida de 1 algarismo. Então o primeiro múltiplo de (19) será obtido multiplicando-a por 10:

O segundo múltiplo de (19) será dado em função da quantidade de algarismos da parte não periódica somado à parte periódica, ou seja, a quantidade de algarismos depois da vírgula até o fim do período. No caso da dízima 0,1555..., temos 2 algarismos (1 e 5). Logo, multiplicamos (19) por 100:

Substituímos (20) em (21):

Vejam que, se ao invés de substituirmos (20) em (21), subtraíssemos (20) de (21), obteríamos o mesmo resultado:

7) Vamos determinar agora a fração geratriz da dízima periódica 1,06818181...

A parte não periódica tem 2 algarismos, logo o primeiro múltiplo e (23) será:

A parte periódica também tem dois algarismos. Somando com a quantidade de algarismos da parte não periódica, obtemos 4 algarismos. Logo, o segundo múltiplo de (23) será:

Fazemos (25) – (24):

8) Passando para um exemplo mais complexo, vamos determinar a fração geratriz da dízima periódica 2,196428571428571...

A parte não periódica contém 3 algarismos (196)

A parte periódica contém 6 algarismos (428571)

Então temos:

Subtraímos (28) de (29):

Lembrem-se que o segredo está em eliminar a parte decimal infinita e só conseguimos isso empregando o método dos múltiplos!

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Veja mais:

Breve Cronologia de PI
Demosntração de Número Irracional
A História do Símbolo do Infinito

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