30 de jan de 2011

A Aritmética de Peano


Em $1889$, o matemático Giuseppe Peano $(1858-1932)$ resumiu as características estruturais nos números naturais em uma lista de axiomas enunciados em lógica simbólica. Esta última era uma linguagem de primeira ordem (ou seja, uma linguagem na qual aparecem somente predicados aplicados aos objetos da linguagem, mas não predicados aplicados aos predicados e nem proposições), com identidade (cujo símbolo é $=$) fica definida por duas propriedades:

$P1)$ $a=a; \: a=b \rightarrow b=a; \: (a=b \: \text{e}\: b=c) \rightarrow a=c$

$P2)$ $a_1=a_2 \rightarrow \varphi (a_1) = \varphi (a_2)$

Isso significa que: $P_1)$ é uma relação reflexiva, simétrica e transitiva; e $P_2)$ quando dois objetos são idênticos, sempre que um deles possuir uma propriedade de $\varphi$, o outro também possuirá.

O conceito central da aritmética de Peano é o "sucessor": todo número natural $x$ tem um sucessor. Esse sucessor não pode ser escrito como $x+1$, pois a adição não foi definida. Peano indica então como $s(x)$ (sucessor de $x$) o número que se segue a $x$ e especifica que a função $s$ está definida para todo número natural $x$. Ele formaliza assim uma propriedade importante dos números naturais (pode-se sempre contar um a mais) e que, depois de especificada sua estrutura particular, servirá para estabelecer "tacitamente" que existem infinitos números.

As constantes da linguagem da aritmética de Peano são as seguintes: $0$ (o número zero); $s$ (a função "sucessor"), $+$ e $\times$ (as operações de adição e multiplicação). O significado dessas constantes fica definido pelos seguintes axiomas:

$A_1) \forall x \left(\neg s(x)=0\right)$

O zero não é o sucessor de nenhum número natural.

$A_2)$ $\forall x \forall y \left(s(x)=s(y)\rightarrow x=y\right)$

Números distintos têm sucessores distintos.

$A_3)$ $\forall \alpha \left( \alpha(0) \wedge \forall x\left(\alpha(x) \rightarrow \alpha\left(s(x)\right) \right)\rightarrow \forall xa(x)\right)$

Esse é o princípio da indução matemática completa: se uma propriedade $\alpha$ é verdadeira para o zero e se a frase "se $\alpha$ é verdadeira para um número $x$, então $\alpha$ é verdadeira também para seu sucessor $s(x)$" está correta, então a propriedade $\alpha$ é verdadeira para todo número natural.

$A_4)$ $\forall x \forall y (x+0=x) \wedge x+s(y) = s(x+y)$

$A_5)$ $\forall x \forall y (x \times 0 = 0) \wedge x\times s(y) = x \times y + x$

Os axiomas $A_4)$ e $A_5)$ definem, por indução, a adição e a multiplicação.

Referências:

$[1]$ Gênios da Ciência nº12 - A Vanguarda da Matemática e os Limites da Razão


Veja mais: 

Formulaire de Mathématiques - 1901 - Peano
Princípio da Indução Completa ou Raciocínio por Recorrência
Anotações Sobre Números Naturais e os Axiomas de Peano  no blog Fatos Matemáticos

14 comentários:

  1. Nossa, muito bom, eu nunca tinha visto esses axiomas escritos decentemente. hehe
    Valeu Kleber!

    ResponderExcluir
  2. Ficou bem interessante mesmo e obrigado pela citação do blog. Abraços!

    ResponderExcluir
  3. Kleber, voce sabe se esses sao os axiomas originais de Peano ? Estao escritos do mesmo jeito que no seu livro "Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita" ?

    ResponderExcluir
  4. Olá Rpza,
    Não sei dizer se no livro de Peano está da mesmo forma que o exposto aqui. Procurei o livro na internet para checar, mas não encontrei nenhuma cópia disponível. Mas como toda a linguagem matemático veio aprimorando-se com o tempo, talvez haja alguma diferença. Sinto em não poder te ajudar.
    Um abraço.

    ResponderExcluir
  5. Tudo bem, muito obrigado mesmo assim!

    ResponderExcluir
  6. Kleber, vc sabia que o matemático americano Harvey Friedman conjecturou, na década de 1990, que alguns teoremas da Aritmética Elementar, podem ser provados na Aritmética de Peano ????? Mas até agora, esta é uma questão em aberto, sem provas ou refutações.

    Uma amostra da conjectura de Friedman é um artigo de um lógico ianque, Colin McLarty, em que ele afirma ter provado o último Teorema de Fermat na Aritmética de Peano, em 2010. O artigo se chama "What Does It Take to Prove Fermat's Last Theorem? Grothendieck and the Logic of Number Theory" e está disponível aki:

    http://www.cwru.edu/artsci/phil/Proving_FLT.pdf

    Adeus e até a próxima ...

    Nota: belo blog !!!!!!!!!

    ResponderExcluir
  7. Olá Len,
    Na verdade nenhuma da informações que você passou eu conhecia, obrigado por compartilhar.
    Por não dominar a língua inglesa e pelo pouco que seu dela, me limita em expandir meus conhecimentos.
    O pdf que passou vou tentar traduzi-lo.
    Obrigado novamente.

    Um abraço.

    ResponderExcluir
  8. Rpza, os axiomas de Peano não são descritos na linguagem acima, esta é moderna, cujas características já aparecem nos trabalhos de Fränkel. A linguagem utilizada por Peano é original, e foi adaptada por Russell e Whitehead em seu Principia Mathematica.https://archive.org/details/formulairedemath00pean

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Ricardo, obrigado pelo link do livro! Tinha procurado certa vez e não havia encontrado.

      Um abraço.

      Excluir
  9. Kléber!!! E gostaria de entender o método de frações continuadas você poderia me ajudar, passo a passo e por que vem aqueles algarismos na frente da divisão ? Exemplo: 45/ 21 = 2 + 3/21 = 2 + 1/ 21/3 = 2 + 1/7 ?
    a sucessão seria : [2, 2 , 2] ou estou errado ?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Hamilton!

      Sinceramente não entendo muito sobre frações contínuas. É algo que gostaria de aprender também. Dei uma goolgada rápida e achei este pdf interessante:
      https://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/12007/JoseCarlosRamosdaSilva.pdf

      Esse é um tema interessante. Verei se consigo fazer um artigo sobre isso.

      Um abraço.

      Excluir
    2. Veja este vídeo. Vá direto para o 15min.
      https://www.youtube.com/watch?v=0utc8PgixFo

      Excluir
  10. https://archive.org/search.php?query=creator%3A%22Giuseppe+Peano%22

    https://archive.org/search.php?query=creator%3A%22Augustus+De+Morgan%22

    ResponderExcluir

Por favor, leiam antes de comentar:

▪ Escreva um comentário apenas referente ao tema;

▪ Para demais, utilize o formulário de contato;

▪ Comentários ofensivos ou spans não serão publicados;

▪ Desde o dia 23/07/2013, todos os comentários passaram a ser moderados. Para maiores detalhes, veja a nota de moderação aqui;

▪ É possível escrever fórmulas em $\LaTeX$ nos comentários deste blog graças a um script da Mathjax. Para fórmulas inline ou alinhadas à esquerda, escreva a fórmula entre os símbolos de $\$$; Para fórmulas centralizadas, utilize o símbolo duplo $\$\$$.

Por exemplo, a^2 + b^2 = c^2 entre os símbolos de $\$\$$, gera:
$$a^2+b^2=c^2$$
▪ Para visualizar as fórmulas em $\LaTeX$ antes de publicá-las, acessem este link.

Seu comentário é o meu Salário!

Redes Sociais

Arquivo do Blog

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...