10 de mar de 2011

Método da Multiplicação dos Camponeses Russos

Antigamente, quando os camponeses da Rússia precisavam multiplicar um número, eles calculavam apenas dobros e metades.

Para resolvermos, por exemplo, $24 \times 45$, pelo método camponês, primeiramente devemos criar uma coluna onde serão colocadas as metades de a partir de $24$:


Vejam que a metade $3$ é $1,5$, mas os camponeses não trabalhavam com números decimais. Quando apareciam meios eles abandonavam e colocavam o número inteiro. Então, no lugar do número $1,5$ usavam o $1$.

Em seguida, calculavam os dobros a partir de $45$:


Em seguida, ignoravam todas as linhas em que apareciam números pares na coluna da esquerda:


E somavam apenas os números que restavam na coluna da direita:
\begin{equation*}
360 + 720 = 1080
\end{equation*}
Encontrando o produto desejado:
\begin{equation*}
24 \times 45 = 1080
\end{equation*}
Vamos ver outro exemplo. Encontrar o produto de $103$ por $211$. Na coluna da esquerda encontramos as metades e na coluna da direita os dobros. Em seguida riscamos as linhas onde se encontram números pares na coluna da direita:


Somando os números restantes da coluna da direita, encontramos:
\begin{equation*}
211+422+844+6752+13504=21733
\end{equation*}
Que é o produto desejado.

De certa forma, evitamos o uso da multiplicação com este método, mas ainda temos que calcular os múltiplos e metades e, dependendo do valor a ser multiplicado, os dobros podem ser mais complicados de encontrar. Vejam estas multiplicações abaixo:


Resultando em:
\begin{equation*}
57 \times 337 = 19209
\end{equation*}
Ou ainda esta:


Resultando em:
\begin{equation*}
197 \times 862 = 169814
\end{equation*}
Apesar dessa aparente dificuldade, temos de levar em conta a capacidade humana de desenvolver métodos para resolução de problemas. Vale lembrar que os camponeses não praticavam a matemática abstrata, mas sim a prática, voltada para seus trabalhos diários e este método estava muito bem adaptado às suas necessidades.

Veja mais:

O Método da Multiplicação Egípcia
O Método da Gelosia para Multiplicações
Um Método para Multiplicação entre Dois Números



8 comentários:

  1. Olá, Kleber!
    Que invenção maneira!
    A necessidade é a mãe da criação, vejam só que artifício, que criatividade!
    Partindo de que: a multiplicação é uma soma de parcelas iguais... vou dar uma estudada nesse método, para saber o porquê desse resultado ser o mesmo, quando calculamos o produto de maneira usual. Ótima abordagem do assunto, parabéns!
    Um abraço!!!!!

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  2. Também achei bacana o método. Saber o porque dá certo o método, também quero saber. Se descobrir, me avise.

    Abraços.

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  3. Sendo que todo número na forma binária é uma combinação de zeros e uns, escolhendo apenas os termos ímpares estamos de certo modo escolhendo apenas as potências de dois que somadas resultarão no número da primeira coluna. Por exemplo, 24 = 2^3 + 2^4, por isso que foi escolhido os números 8x e 16x na coluna à direita, ou seja, 360 e 720 para formar o produto. É de admirar que este método que foi descoberto empiricamente. Parabéns pela postagem e obrigado pelo link.

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  4. Eu que agradeço a explicação para o método!!
    Abraços.

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  5. Olá, Kleber!
    O Paulo, chegou com a explicação primeiro que eu! Eu tinha feito aqui, o seguinte:

    24 X 45 ==> 2 ^ 0 (eliminar)
    12 90 ==> 2 ^ 1 (eliminar)
    6 180 ==> 2 ^ 2 (eliminar)
    3 360 ==> 2 ^ 3 (usar)
    1 720 ==> 2 ^ 4 (usar)
    ______
    1080 = 24 x 45

    Fiz para outros produtos e deu certo, então qd o meu PC ficou liberado aqui, vim mostrar.
    Eu estava pensando mesmo que o Paulo e o Cláudio também seriam capazes de matar a charada russa e não deu outra! Parabéns, para todos nós!!!!!!!!!
    Um abraço!!!!!

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  6. Olá, kleber!
    Estou vendo que os números que ficaramm na coluna da esquerda, não sei pq se juntaram aos números da coluna da direita ali no comentário anterior. Então, 360 na 4ª parcela e 720 na 5ª da coluna da direita é que são somadas.
    Aproveitando a ocasião, quero tbm esclarecer que usei as potências de 2 com expoentes (0, -1, -2, -3...,-n) negativos para multiplicar o 24 na coluna da esquerda, enquanto usava multiplicar o 45 pelas potências de 2 com expoentes (0, 1, 2, 3..., n) positivos. Aí verifiquei que: pelo critério de usar os valores na coluna da direita os quais correspondiam a resultados ímpares na coluna da esquerda então eu tinha... 2 ^ 3 = 8 x 45 = 360 e 2 ^ 4 = 16 x 45 = 720 e finalmente... 360 + 720 = 1080 que é o produto de 24 x 45 = 1080.

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  7. esse metodo, sempre funcionar para todos os numer?

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    Respostas
    1. Somente para números inteiros. Note que quando se tem números muito grandes, o trabalho é maior.

      Obrigado pelo comentário.

      Um abraço.

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