29/01/2012

Construção Geométrica da Espiral de Arquimedes com Régua e Compasso

Os trabalhos de Arquimedes são obras-primas de exposição matemática. Além de exibirem grande originalidade, habilidade computacional e rigor nas demonstrações, são escritos numa linguagem altamente acabada e objetiva. Cerca de dez tratados de Arquimedes se preservaram até nossos dias e há vestígios de outros extraviados. Veja aqui a lista das obras de Arquimedes que, depois de muitas vicissitudes, chegaram à nós, seguindo a ordem da edição crítica de Heiberg.

imageEm seu tratado sobre as espirais, com vinte e oito proposições, dedica-se às propriedades da curva que hoje conhecemos como Espiral de Arquimedes e cuja equação polar é dada por:

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Onde r é o raio e k é uma constante de proporcionalidade. Podemos definir a espiral como o lugar dos pontos P que se movem uniformemente ao longo de um raio que, por sua vez, gira uniformemente numa plano em torno da origem.

Vamos aqui construir a espiral de Arquimedes utilizando apenas régua e compasso.

O processo de construção consiste em dividir uma circunferência em n partes iguais, dividir o raio em n partes iguais e descrever circunferências concêntricas com raios iguais à distância da origem O às divisões do raio. Em seguida, marcar os pontos Pn nas intersecções dos raios rn com as circunferências cn. A curva que passa por esses pontos é a espiral de Arquimedes. Vejamos passo-a-passo:

1) Descreva uma circunferência e divida-a em n partes iguais. Vamos utiliza n = 16 por ser de fácil obtenção, somente traçando as mediatrizes:

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2) Agora vamos dividir o raio em n = 16 partes iguais. Já vimos aqui como dividir um segmento de reta em n partes:

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3) E tracemos as circunferências concêntricas passando pelos pontos da divisão do raio:

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4) Marcamos os pontos P nas intersecções das circunferências cn com os raios rn e unimos esses pontos com segmentos de retas:

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5) A curva que passa por esses pontos é a espiral de Arquimedes:

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Referências:

[1] Introdução à História da Matemática – Howard Eves


Veja mais:

Construção Geométrica da Parábola com Régua e Compasso
Construção Geométrica da Hipérbole com Régua e Compasso
Construção Geométrica da Elipse com Régua e Compasso (Parte 1)
Construção Geométrica da Elipse com Régua e Compasso (Parte 2)

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Construção Geométrica da Espiral de Arquimedes com Régua e Compasso. Publicado por Kleber Kilhian em 29/01/2012. URL: . Leia os Termos de uso.


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6 comentários:

  1. Estava esses dias estudando alguns assuntos da obra de Arquimedes e me deparei com esta curva que também pode ser usada para a quadratura do círculo. Parabéns pelo post!

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  2. Obrigado Paulo. Além disso também é possível trisseccionar ângulos! Incrível não é como Arquimedes era inteligente! Vou estudar um pouco mais sobre esse assunto e quem sabe consigo um bom artigo.
    Obrigado e um abraço.

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  3. Muito bom o post.

    Tenho muitas construções geométricas desde a época que cursava faculdade, uma delas é a construção de espirais policentrais usando régua e compasso. Quem sabe consigo reproduzi-las no Geogebra e publicar alguns desenhos. Me senti inspirado, vamos ver se o tempo deixa.

    Abraço!

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  4. Uma pena nã oensinarem mais desenho geométrico no ensino fundamental. Faz uma diferença enorme no aprendizado.
    Obrigado pelos comentários!

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  5. Olá Kleber,

    De fato trabalho Desenho Geométrico no Ensino Fundamental de uma escola particular. Quando construímos a Espiral de Arquimedes os alunos ficam fascinados por esse tema.

    Abs.

    Carlos Roberto
    Diadematematica

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