09/06/2012

Integração por Frações Parciais (Parte 1) – Fatores Lineares

Algumas integrais, cujo integrando consiste numa fração racional, ou seja, uma função do tipo:

clip_image002

onde p(x) e q(x) são polinômios reais com q ≠ 0, são facilmente integráveis por substituição ou por partes, ou mesmo diretamente. Mas isso nem sempre ocorre e o integrando pode não ser facilmente calculada ou mesmo impossível por estes métodos. Neste caso, podemos decompor a fração que define o integrando em frações parciais.

O método consiste em reescrever a fração do integrando numa soma de outras frações mais simples, de modo que a integração seja necessariamente mais simples. A decomposição é feita a partir de fatoração do polinômio q(x) que aparece no denominador, associando a cada fator linear ou quadrático irredutível uma ou mais frações parciais.

Um polinômio em x é uma função da forma:

clip_image004

onde os coeficientes são constantes, a0 ≠ 0 e n é um inteiro positivo que também pode ser nulo.

Sendo assim, se dois polinômios do mesmo grau são iguais, qualquer que seja o valor atribuído à variável nos dois polinômios são iguais.

Todo polinômio de coeficientes reais pode ser expresso, pelo menos teoricamente, como um produto de fatores lineares reais, da forma ax + b e fatores de segundo grau, irredutíveis, da forma ax2 + bx + c.

Uma função:

clip_image006

onde f (x) e g (x) são polinômios, é chamada de fração racional.

Se o grau de f (x) for menor que o grau de g (x), F (x) é uma fração racional própria; caso contrário, F (x) é denominada imprópria.

Uma fração racional imprópria pode ser expressa como a soma de um polinômio e de uma fração racional própria. Assim:

clip_image008

Toda fração racional própria pode ser expressa, pelo menos teoricamente, como uma soma de frações mais simples: frações parciais, cujos denominadores são da forma:

clip_image010

onde n é um inteiro positivo. Podemos ter quaro casos distintos, dependendo de como os denominadores se apresentam. Vejamos cada caso individualmente.

Caso 1 – Fatores Lineares Distintos

A cada fator linear da forma ax + b que aparece uma vez no denominador de uma fração racional própria, corresponde a uma fração parcial da forma:

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onde A é uma constante a determinar.

Exemplo 1: Achar a integral:

clip_image014

a) Primeiramente, fatoramos o denominador:

clip_image016

Fazemos:

clip_image018

Temos então que:

clip_image020

ou

clip_image022

b) Agora, vamos determinar as constantes. Para isso, dispomos de dois métodos:

Método Geral: Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equações:

clip_image024

Resolvendo o sistema, obtemos: A1 = 1/4 e A2 = –1/4.

Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = 2 e x = –2. Assim, substituímos estes valores em (2), obtendo:

clip_image026

clip_image028

Vejam que são os mesmos valores encontrados no método geral.

c) Agora, vamos reescrever a integral como:

clip_image030

clip_image032

E pelas propriedades dos logaritmos, temos:

clip_image034

Exemplo 2: Achar a integral:

clip_image036

a) Primeiramente, fatoramos o denominador:

clip_image038

Fazemos:

clip_image040

Temos então que:

clip_image042

ou

clip_image044

b) Agora, vamos determinar as constantes. Para isso, dispomos de dois métodos:

Método Geral: Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equações:

clip_image046

Resolvendo o sistema, obtemos: A1 = –1/6 , A2 = 3/10 e A3 = –2/15.

Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = 0, x = 2 e x = –3. Assim, substituímos estes valores em (2), obtendo:

clip_image048

clip_image050

clip_image052

Vejam que são os mesmos valores encontrados no método geral.

c) Agora, vamos reescrever a integral como:

clip_image054

clip_image056

clip_image058

E pelas propriedades dos logaritmos, temos:

clip_image060

Caso 2 – Fatores Lineares Repetidos

A cada fator linear da forma ax + b que aparece n vezes no denominador de uma fração racional própria, corresponde a uma soma de n frações parciais da forma:

clip_image062

onde A1, A2, ..., An são constantes a determinar.

Exemplo 3: Achar a integral:

clip_image064

a) Primeiramente, fatoramos o denominador:

clip_image066

Vejam que o fator que se repete é o (x – 1), pois (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1). Como aparece duas vezes, fazemos

clip_image068

Temos então que:

clip_image070

ou

clip_image072

b) Agora, vamos determinar as constantes. Para isso, dispomos de dois métodos:

Método Geral: Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equações:

clip_image074

Resolvendo o sistema, obtemos: A1 = 1/2 , A2 = –1/2 e A3 = 4.

Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = –1 e x = 1. Assim, substituímos estes valores em (2), obtendo:

clip_image076

clip_image078

Ainda falta determinar a constante A2. Para isso, atribuímos qualquer valor para x e substituímos os valores já determinados para A1 e A2. Vamos supor x = 0:

clip_image080

clip_image082

clip_image084

Vejam que são os mesmos valores encontrados no método geral.

c) Agora, vamos reescrever a integral como:

clip_image086

clip_image088

clip_image090

E pelas propriedades dos logaritmos:

clip_image092

Exemplo 4: Achar a integral:

clip_image094

Veja que neste caso, o integrante é uma fração em que o numerador tem grau maior do que o denominador. Fazemos a divisão:

clip_image096

clip_image098

Fazemos:

clip_image100

Temos então que:

clip_image102

Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = 0, x = 1 e x = –2. Assim, substituímos estes valores em (2), obtendo:

clip_image104

clip_image106

clip_image108

c) Agora, vamos reescrever a integral como:

clip_image110

clip_image112

clip_image114

E pelas propriedades dos logaritmos:

clip_image116

Problemas para resolver em casa:

clip_image118

clip_image120

clip_image122

clip_image124


Referências:

[1] Cálculo Diferencial e Integral – Frank Ayres Jr – Coleção Schaum
[2] Cálculo II – Abílio Souza Costa Neto – FTC EAD


Veja mais:

Integração por Frações Parciais (Parte 2) - Fatores Quadráticos Irredutíveis
Método de Integração por Substituição
Método de Integração por Partes

51 comentários:

  1. Acho que falta uma coisa nesse post.
    A função $\ln{x}$ é definida para $x\in\mathbb{R}_{+}^*$. De modo que
    $\displaystyle\int\dfrac{dx}{x}=\ln{x}$
    , se $x>0$. Me lembro de ver em um livro que
    $\displaystyle\int\dfrac{dx}{x}=\ln{|x|}$
    Assim cobrimos todos os casos, já que o gráfico de $f(x)=\ln{|x|}$ é simétrico em relação ao eixo $Oy$, isso significa que $f^{\prime}(x)=-f^{\prime}(-x)$ para todo $x>0$.
    Para o primeiro exemplo acredito que
    $\displaystyle\int\dfrac{dx}{x^2-4}=\dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{x-2}{x+2}\right|+C$ está mais correto por cobrir todos os casos.

    ResponderExcluir
  2. Pedro Cunha15/01/2013 09:57

    Obrigado por partilhar, ajudou me muito, em menos de meia hora já estou a conseguir integrar...
    Pedro Cunha

    ResponderExcluir
  3. Que bom que lhe foi útil. Um abraço e volte sempre!

    ResponderExcluir
  4. Olá Multiplicador Kleber, é com enorme satisfação que recebemos sua participação na família Educadores Multiplicadores.

    Enquanto seu blog não é divulgado naquele espaço, visite outros Multiplicadores, continue visitando o blog MARQUECOMX (ele é parte da parceria).

    Faça novas parcerias (se quiser), amizades e comente em seus blogs e eles (os multiplicadores) virão visitar o seu.

    Para saber mais sobre a parceria saudável e tirar proveito dela, é muito importante que você leia o texto no EDUCADORES MULTIPLICADORES

    Abraço, fiquemos na Paz de Deus e até breve!
    Agora é só aguardar a sua publicação.

    Irivan

    ResponderExcluir
  5. Olá, Professor!

    Se o grau do polinômio do denominador for maior que 4, o que se faz?

    Abraço.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Evica Martins11/09/2014 07:43

      Como resolvo este exercicio: integral de de 3x+1\x(x-1)(x+1)dx

      Excluir
    2. Evica, veja a resolução:

      Seja a integral:
      \begin{aligned}
      I=\int \frac{3x+1}{x(x+1)(x-1)} dx
      \end{aligned}
      Para resolvermos utilizando o método das frações parciais, fazemos:
      \begin{aligned}
      \frac{3x+1}{x(x+1)(x-1)} =\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{(x-1)}+\frac{A_3}{(x+1)}
      \end{aligned}
      Usando o método abreviado, os valores atribuídos a $x$ que anulam as frações parciais são:

      Para $x=0$: $A_1=-1$
      Para $x=1$: $A_2=2$
      Para $x=-1$: $A_3=-1$

      Substituindo estes valores, obtemos:
      \begin{aligned}
      I&=\int\left( -\frac{1}{x}+\frac{2}{(x-1)}-\frac{1}{(x+1)} \right)dx\\
      &=\int\left( -\frac{1}{x}-\frac{1}{(x+1)}+\frac{2}{(x-1)} \right)dx\\
      &=-\int\frac{1}{x}dx-\int\frac{1}{x+1}dx+2\int\frac{1}{x-1}dx
      \end{aligned}
      Para o integrando $1/x+1$, fazemos a substituição $u=x+1$ e $du=dx$. E para o integrando $1/x-1$, fazemos $v=x-1$ e $dv=dx$:
      \begin{aligned}
      I&=-\ln (x)-\int\frac{1}{u}du+2\int\frac{1}{v}dv\\
      &=-\ln(x)-\ln(u)+2\ln(v)+C\\
      &=-\ln(x)-\ln(x+1)+2\ln(x-1)+C
      \end{aligned}

      Espero ter ajudado.

      Abraços.


      Excluir
  6. Olá Ítalo,

    Bem, devemos analisar o quociente. Talvez dê para fatorar e simplificar, ou mesmo ter que resolver por outros meios. Isso vai depender dos termos envolvidos e de nossa percepção.

    Um abraço!

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  7. Bom dia, professor.
    Como se calcula a integral no caso geral se tenho raizes multiplas complexas e termo de grau 0 no numerador. O caso mais simples deste caso é, ja fatorizado:

    1/(1+x^2)^2

    Como se integra?

    Marcus

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Marcus, aí vc tem que inverte a fração (x^2 +1)-2, aí integra normalmente (x^2+1)-2+1/(-2+1) = ((x^2+1)^-1)/-1 = - 1/(x^2+1).

      Excluir
  8. amo as sua explicaçoes elas sao completissimas, valeu me ajudou muito pra a minha prova. obrigado

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá, que bom que este artigo lhe foi útil.

      Volte sempre.

      Excluir
  9. E quando eu tenho denominador de grau 3, de modo que não haja decomposição?
    Exemplo: integral de x^4+8x^3-x^2+2x+1/ (x^2+x)(x^3+1)

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá SteeH. Inicialmente, veja esta resolução:

      http://img842.imageshack.us/img842/9241/hc29.png

      Vou tentar deixar mais didático.

      Obrigado e um abraço.

      Excluir
  10. Bom dia professores me ajudem a resolver esses dois exercícios porque estou com duvidas , sou estudante cabo verdiano na UniCV
    desde já um muito obrigado 1- Calcula a seguinte primitiva ∫ x ln (√(1+x^2 )) dx

    2- Indique expressão que permite calcular a área da região do plano limitado pelas curvas y=e^x ; y=e^(-x) e y=e^2.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Eu acho que isso não tem resolução analítica. Devem ser aplicados métodos numéricos de resolução, como quadratura de Legendre, 3/8 ou 1/3 de simpson, regra dos trapézios compostos...


      Alex Chacon

      Excluir
  11. Prof., Como ficaria esta integral
    dx/x^2-6x+8

    ResponderExcluir
  12. Seja a integral:
    $$I = \int \frac{dx}{x^2-6x+8}$$
    Fazemos:
    $$x^2-6x+8=(x-4)(x-2)$$. Assim:
    $$I = \int \frac{dx}{(x-4)(x-2)}$$
    Usando o caso 1 - Fatores Lineares Distintos:
    \begin{equation}
    \frac{1}{x^2-6x+8}=\frac{A}{(x-4)}+\frac{B}{(x-2)}
    \end{equation}
    E então:
    \begin{equation}
    1=A(x-2)+B(x-4)
    \end{equation}
    Observando em (1) os denominadores das frações parciais, os valores atribuídos a $x$ para que anulem os denominadores dessas frações são $x=4$ e $x=2$, respectivamente. Agora, substituímos esses valores em (2):

    Para $x=4$:
    $$1=A(4-2)+B(4-4) \Rightarrow 1=2A \Rightarrow A=1/2$$

    Para $x=2$:
    $$1=A(2-2)+B(2-4) \Rightarrow 1=-2B \Rightarrow B=- 1/2$$

    Agora reescrevemos a integral $I$ como:
    $$I = \int \frac{dx}{x^2-6x+8} = \int \left [\frac{1/2}{(x-4)} - \frac{1/2}{(x-2)} \right ] dx$$
    $$I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x-4} - \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x-2}$$
    $$I = \frac{1}{2} \ln (x-4) - \frac{1}{2} \ln (x-2) + C$$
    $$I = \frac{1}{2} \left (\ln(x-4) - \ln(x-2) \right ) + C$$
    $$I = \frac{1}{2} \ln \left(\frac{x-4}{x-2} \right ) + C$$

    Espero ter ajudado.

    Abraços.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. MUITOOOOOOOOO, AJUDOU MUITO. VLW..!!

      Excluir
  13. Solução por frações parciais da integral 1/(x^2-1)^2

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    Respostas
    1. Demorou mas saiu. Veja a resolução: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2014/07/resolucao-da-integral-displaystyle-int.html

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  14. obrigado por esse método de abreviado me ajudou muito...

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  15. Professor, como resolvo esta integral?int dx / x(x-1)² ?
    Tentei pelo quarto caso, dos fatores lineáres e quadráticos repetidos.
    Porém nao consigo resolver o sistema..

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Respondi seu e-mail com a resolução.

      Abraços.

      Excluir
  16. Professor, como resolvo esta integral? int. cos(2x)cos(x)dx e int. sen(3x) sen(5x)dx

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá. Envie-me um email para te mandae as resoluções.

      kleberkilhian@gmail.com

      Abraços.

      Excluir
  17. professor como ficam as integrais a seguir
    x dx/1-x

    1-2x dx/2x²

    4x² + 3x + 1 dx / -4x³ -4x² -4x -4

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Diogo, respondi o e-mail que você me enviou com as respostas.

      Excluir
    2. 4x² + 3x + 1 dx / -4x³ -4x² -4x -4

      Excluir
    3. A resposta é:
      $$-\frac{3}{8}\ln(x^2+1)-\frac{1}{4}\ln(x+1)+C$$

      Abraços.

      Excluir
  18. Como resolvemos esse integral por frações parciais :
    1/(x-5)²(x-1)

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Veja a resolução nos links:
      https://www.dropbox.com/s/6crqi2shzkufget/2015-05-20%2020.49.20.jpg?dl=0

      https://www.dropbox.com/s/03tpvqccwm4u460/2015-05-20%2020.49.31.jpg?dl=0

      Abraços.

      Excluir
  19. Boa tarde !!
    Preciso da resolução através da técnica de integração de funções racionais
    a) ∫ dx/ x^4 + x^2

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá, dê uma olhada neste link:
      http://maxima.sourceforge.net/docs/tutorial/en/gaertner-tutorial-revision/Pages/StepwisePF0001.htm

      Excluir
    2. Veja a resolução no link: https://goo.gl/photos/W11zS8StavcbD3iV9

      Excluir
  20. Como ficou as resoluções dos exercícios de casa?

    ResponderExcluir
  21. Poderia me ajudar com um exemplo aplicado de integral por frações parciais! Agradeço desde já!

    ResponderExcluir
  22. Qual seria a integral de 0 a 0,8 de ∫(1+3X)/(1-x)^2?

    ResponderExcluir
  23. https://goo.gl/photos/TMs59vhZ7QvY1cLd6
    Veja a resolução nesta imagem


    ResponderExcluir
  24. Método Abreviado não vi na faculdade, mas realmente parece muito mais fácil, não tenho certeza pois não apliquei em todos os tipos possíveis mas parece deixar menos margem para erro do que um sistema igualado aos coeficientes que acompanham a variável. O único probleminha é no caso da regra do fator linear, mas nada que um lembrete não salve, né? haha. Muito obrigado.

    ResponderExcluir
  25. Tenho duvida neste caso:
    integral dx/(1+x^9).
    me ajudem please

    ResponderExcluir
  26. Professor me ajuda, como resolve essa integral: (-3x+1)/x^2+1

    ResponderExcluir
  27. Por favor, como resolvo a integral indefinida: ln(x^2+5*x+6) ? Muito obrigada.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Veja a resolução

      https://goo.gl/photos/dhVZQHiHMoSg8br86



      Excluir
  28. Como resolvo a integral dx/1+senx+cosx?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Veja uma possível resolução:
      https://drive.google.com/file/d/103KTXT841KjO9POX2dTgsQkn-uFu-mM9/view?usp=drivesdk

      Excluir

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