17/09/2012

Construção Geométrica de uma Parábola pelo Método de Ibn Sinan

Uma breve história:

Abu Said Sinan ibn Thabit ibn Qurra foi uma matemático, astrônomo que estudou geometria, além de ter sido extremamente eminente na medicina Nasceu por volta de 880 e também não se sabe exatamente a cidade onde nasceu, mas sabe-se que morreu em Bagdá em 943.

Seu pai, Thabit, era membro da seita religiosa Sabain, que eram adoradores da estrela Harran. A observação do céu noturno foi uma forte motivação para o estudo da astronomia e desta seita, surgiram outros matemáticos sabianos de qualidade.

Sinan foi formado em medicina, educado na corte na qual seu pai tinha o cargo de astrônomo. Mas parece não ter escrito nenhum tratado na área. Preferiu temas como História Política, Matemática e Astronomia.

Um dos feitos de Sinan é a construção geométrica de uma parábola usando apenas régua e compasso. Abaixo segue o procedimento devidamente adaptado, mas que mantém todos os passos utilizados por Sinan.

Construção:

1) Trace uma reta r.

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2) Marque dois pontos P e V sobre r.

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3) Trace uma reta s perpendicular a r por V.

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4) Marque dois pontos a e b em r de modo que a distância de cada um destes a P seja maior que a distância a V.

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5) Com centro em a, descreva uma circunferência C1 que passe por P.

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6) Marque os pontos de intersecção de C1 com as retas r e s como c, d e e, respectivamente, trace as perpendiculares à estas retas e marque como f e g os pontos de intersecção dessas perpendiculares.

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7) Para o ponto b, repita os passos 5 e 6, gerando os pontos c’,d’, e’, f ’ e g’.

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8) A cônica que passa pelos pontos f, f’, g, g’ é uma parábola de vértice em V.

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Observações:

i ) A imposição de que as distâncias dPa e dPb sejam maiores do que dVa e dVb, respectivamente, se deve ao fato de que, se essa imposição não for obedecida, os pontos gerados após a construção não pertencem à parábola:

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ii )Vejam que não importa onde os pontos a e b estejam posicionados, desde que seja respeitada a imposição dada em 4), de modo que para quaisquer pontos a e b em r, sempre gera uma cônica de mesma equação:

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iii ) Se movimentarmos o ponto V, que é o vértice da parábola, ao longo da reta r, observaremos que a concavidade da parábola é mais fechada quando a distância dPV diminui e a concavidade fica mais aberta quando dPV aumenta.

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Veja mais:

Construção Geométrica da Parábola com Régua e Compasso
Construção Geométrica da Elipse com Régua e Compasso (Parte 1)
Construção Geométrica da Elipse com Régua e Compasso (Parte 2)
Construção Geométrica da Hipérbole com Régua e Compasso

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