11/06/2013

Distância Entre Dois Pontos No Plano

Nesta postagem, veremos como determinar a distância entre dois pontos distintos no plano cartesiano.

Definição: Sejam dois pontos distintos $A(x_A,y_A)$ e $B(x_B,y_B)$ no plano cartesiano. Distância é a medida do segmento de reta que tem os pontos $A$ e $B$ como extremidades.
No plano, dado dois ponto, o segmento formado por eles pode ser paralelo ao eixo dos $x$ ou ao eixo dos $y$, ou mesmo oblíquo a eles.

$1^{\circ}$ caso: O segmento $\overline{AB}$ é paralelo ao eixo dos $x$
Neste caso, as ordenadas dos pontos $A$ e $B$ são iguais, ou seja, $y_A=y_B$. A distância entre os pontos $A$ e $B$, ou o comprimento do segmento $\overline{AB}$, é dada pelo módulo da diferença entre as abscissas de $A$ e $B$, de modo que:
\begin{equation}
d_{AB}=\mid x_A-x_B \mid
\end{equation}

Exemplo $1$: Determinar a distância entre os pontos $A(-3,2)$ e $B(4,2)$.

\begin{aligned}
d_{AB}=\mid x_A-x_B \mid=\mid -3-4\mid=\mid -7\mid=7
\end{aligned}

$2^{\circ}$ caso: O segmento $\overline{AB}$ é paralelo ao eixo dos $y$

Neste caso, as abscissas dos pontos $A$ e $B$ são iguais, ou seja, $x_A=x_B$. A distância entre os pontos $A$ e $B$, ou o comprimento do segmento $\overline{AB}$, é dada pelo módulo da diferença das ordenadas de $A$ e $B$, de modo que:
\begin{equation}
d_{AB}=\mid y_A-y_B \mid
\end{equation}

Exemplo $2$: Determinar a distância entre os pontos $A(3,-2)$ e $B(3,3)$.

\begin{aligned}
d_{AB}=\mid y_A-y_B \mid=\mid -2-3\mid=\mid -5\mid=5
\end{aligned}

$3^{\circ}$ caso: O segmento $\overline{AB}$ é oblíquo aos eixos

Este é o caso geral, pois a fórmula que encontraremos também resolve os dois casos anteriores. Vejam que as retas que passam pelo ponto $x_B$ paralela ao eixo dos $y$ e pelo ponto $y_A$ paralela ao eixo dos $x$, definem um triângulo retângulo com hipotenusa $\overline{AB}$. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $ABC$, obtemos:
\begin{equation}
\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2
\end{equation}
No entanto, temos que $\overline{BC}=\mid y_A-y_B\mid$ e $\overline{AC}=\mid x_A-x_B\mid$. Se substituirmos em $(3)$, vem que:
\begin{equation}
\overline{AB}^2=\mid x_A-x_B\mid ^2+\mid y_A-y_B\mid ^2
\end{equation}
Como para todo $a \in \mathbb {R}$, então $\mid a \mid ^2=a^2$, reescrevemos a equação $(4)$: 
\begin{aligned}
(d_{AB})^2=(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2
\end{aligned}
Agora, basta extrairmos as raízes de ambos os lados da equação acima:
\begin{equation}
d_{AB}=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}
\end{equation}
Vejam ainda que $(x_A-x_B)^2=(x_B-x_A)^2$ do mesmo modo que $(y_A-y_B)^2=(y_B-y_A)^2$. Assim, ainda podemos reescrever a equação $(5)$ como:
\begin{equation}
d_{AB}=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}
\end{equation}

Exemplo $3$: Determine a distância entre os pontos $A(1,-1)$ e $B(4,-5)$.

\begin{aligned}
d_{AB}=\sqrt{(1-4)^2+(-1-(-5))^2}=\sqrt{(-3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
\end{aligned}

Exemplo $4$: Mostrar que os pontos $A(2,2)$, $B(-4,-6)$ e $C(4,-12)$ formam um triângulo retângulo e isósceles e calcule seu perímetro.

Primeiramente vamos calcular as medidas dos lados do triângulo $ABC$ e ver se formam uma terna pitagórica.
\begin{matrix}
d_{AB}=\sqrt{(2+4)^2+(2+6)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\\
d_{BC}=\sqrt{(-4-4)^2+(-6+12)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\\
d_{AC}=\sqrt{(2-4)^2+(2+12)^2}=\sqrt{4+196}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\\
\end{matrix}
Agora, aplicamos os valores encontrados acima no Teorema de Pitágoras e verificamos se o satisfaz. Como a maior distância é do segmento $\overline{AC}=10\sqrt{2}$, concluímos que a hipotenusa é o segmento $\overline{AC}$.
\begin{matrix}
(d_{AC})^2=(d_{AB})^2+(d_{BC})^2\\
(10\sqrt{2})^2=10^2+10^2\\
200=100+100
\end{matrix}
Logo, o triângulo $ABC$ é retângulo e é isósceles, pois ambos os catetos são iguais. O perímetro do triângulo é dado pela soma dos lados:
\begin{aligned}
P=d_{AB}+d_{BC}+d_{AC}=10+10+10\sqrt{2}=10(2+\sqrt{2})
\end{aligned}
Exemplo $5$: Dados os pontos $A(2,4)$ e $B(7,3)$, determinar o ponto $P$ sobre o eixo dos $x$ de modo que seja equidistante a $A$ e a $B$.

Como o ponto $P \in Ox \Rightarrow P(x,0)$ e como $P$ é equidistante a $A$ e $B$, então $d_{AP}=d_{BP}$. Então:
\begin{matrix}
d_{AP}=\sqrt{(x_A-x_P)^2+(y_A-y_P)^2}=\sqrt{(2-x_P)^2+(4-0)^2}=\sqrt{(2-x_P)^2+16}\\
d_{BP}=\sqrt{x_B-x_P)^2+(y_B-y_P)^2}=\sqrt{(7-x_P)^2+(3-0)^2}=\sqrt{(7-x_P)^2+9}
\end{matrix}
Fazendo $d_{AP}=d_{BP}$, vem que:
\begin{matrix}
\sqrt{(2-x_P)^2+16}=\sqrt{(7-x_P)+9}\\
(2-x_P)^2+16=(7-x_P)^2+9\\
4-4x_P+x_P^2+16=49-14x_P+x_P^2+9\\
x_P=\frac{38}{10}=\frac{19}{5}=3 \frac{4}{5}
\end{matrix}Logo, $\displaystyle P \left ( \frac{19}{5},0\right )$.

Veja mais: 

Retas Perpendiculares
Reta Tangente a uma Curva
Distância entre Dois Pontos na Superfície Terrestre no blog Fatos Matemáticos

9 comentários:

  1. Olá Kleber... Ótima publicação, você explica muito bem e de uma maneira que fica fácil compreender... O bom de suas matérias é que você cita muitos exemplos e principalmente muitas figuras, para visualizarmos tudo o que está acontecendo... Queria lhe fazer uma pergunta... É você quem faz essas imagens??? Se for poderia me dizer qual o programa que você utiliza para fazer essas imagens??? Isso me ajudaria muito com as publicações no meu blog...

    Att. Romirys Cavalcante

    ResponderExcluir
  2. Olá Romirys, obrigado pelo comentário. Bem, uso vários recursos para gerar imagens. Estas por exemplo, fiz no Corel. Uso também o Paint do Windows. Para fazer construções geométricas, uso o software Régua e Compasso. Tem também o Geogebra. Para fórmulas adotei o script do MathJax, veja o link: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/02/latex-no-blogger.html
    Veja este site de torrents, pode te ajudar:
    http://theanonybay.net/torrents/0

    Um abraço!

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    Respostas
    1. Obrigado pelas dicas Kleber, com certeza irão me ajudar bastante a partir de hoje...

      Agora já posso começar a aprofundar publicações no meu blog com mais imagens...

      Sou um admirador do seu trabalho que é feito aqui no Baricentro da Mente... Meu blog feito inspirado nele...

      Att. Romirys Cavalcante

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    2. Se precisar de ajuda, me avise.

      Abraços.

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  3. no exemplo 5 como tirou da Raiz ?

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  4. No exemplo 5, não seria:
    $ \sqrt{(2-x_p)^2+16} = \sqrt{(7-x_p)^2+9} $
    ao invés de
    $ \sqrt{(2-x_p)^2+16} = \sqrt{(7-x_p)+9} $
    Pois o 7-xp volta a estar elevado ao quadrado na linha seguinte.

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  5. Na verdade, como todos o primeiro membro está sob uma raiz e todo o segundo membro está sob uma raiz, nós extraímos as raízes dos membros:

    $\sqrt{(2-x_P)^2+16}=\sqrt{(7-x_P)+9}$
    $(2-x_P)^2+16=(7-x_P)+9$

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  6. Olá Kleber, estou finalizando mais uma planilha justamente sobre este tema... Vou referenciar seu artigo, certo?

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    Respostas
    1. Charles, pode usar tranquilamente. Depois eu incluo o link do seu artigo aqui.

      Abraços.

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$$a^2+b^2=c^2$$
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