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11/06/2013

Distância Entre Dois Pontos No Plano

Nesta postagem, veremos como determinar a distância entre dois pontos distintos no plano cartesiano.

Definição: Sejam dois pontos distintos A(xA,yA) e B(xB,yB) no plano cartesiano. Distância é a medida do segmento de reta que tem os pontos A e B como extremidades.
No plano, dado dois ponto, o segmento formado por eles pode ser paralelo ao eixo dos x ou ao eixo dos y, ou mesmo oblíquo a eles.

1 caso: O segmento ¯AB é paralelo ao eixo dos x
Neste caso, as ordenadas dos pontos A e B são iguais, ou seja, yA=yB. A distância entre os pontos A e B, ou o comprimento do segmento ¯AB, é dada pelo módulo da diferença entre as abscissas de A e B, de modo que:
dAB=∣xAxB


Exemplo 1: Determinar a distância entre os pontos A(3,2) e B(4,2).

dAB=∣xAxB∣=∣34∣=∣7∣=7


2 caso: O segmento ¯AB é paralelo ao eixo dos y

Neste caso, as abscissas dos pontos A e B são iguais, ou seja, xA=xB. A distância entre os pontos A e B, ou o comprimento do segmento ¯AB, é dada pelo módulo da diferença das ordenadas de A e B, de modo que:
dAB=∣yAyB


Exemplo 2: Determinar a distância entre os pontos A(3,2) e B(3,3).

dAB=∣yAyB∣=∣23∣=∣5∣=5


3 caso: O segmento ¯AB é oblíquo aos eixos

Este é o caso geral, pois a fórmula que encontraremos também resolve os dois casos anteriores. Vejam que as retas que passam pelo ponto xB paralela ao eixo dos y e pelo ponto yA paralela ao eixo dos x, definem um triângulo retângulo com hipotenusa ¯AB. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, obtemos:
¯AB2=¯AC2+¯BC2

No entanto, temos que ¯BC=∣yAyB e ¯AC=∣xAxB. Se substituirmos em (3), vem que:
¯AB2=∣xAxB2+yAyB2

Como para todo aR, então a2=a2, reescrevemos a equação (4)
(dAB)2=(xAxB)2+(yAyB)2

Agora, basta extrairmos as raízes de ambos os lados da equação acima:
dAB=(xAxB)2+(yAyB)2

Vejam ainda que (xAxB)2=(xBxA)2 do mesmo modo que (yAyB)2=(yByA)2. Assim, ainda podemos reescrever a equação (5) como:
dAB=(Δx)2+(Δy)2


Exemplo 3: Determine a distância entre os pontos A(1,1) e B(4,5).

dAB=(14)2+(1(5))2=(3)2+(4)2=9+16=25=5


Exemplo 4: Mostrar que os pontos A(2,2), B(4,6) e C(4,12) formam um triângulo retângulo e isósceles e calcule seu perímetro.

Primeiramente vamos calcular as medidas dos lados do triângulo ABC e ver se formam uma terna pitagórica.
dAB=(2+4)2+(2+6)2=36+64=100=10dBC=(44)2+(6+12)2=64+36=100=10dAC=(24)2+(2+12)2=4+196=200=102

Agora, aplicamos os valores encontrados acima no Teorema de Pitágoras e verificamos se o satisfaz. Como a maior distância é do segmento ¯AC=102, concluímos que a hipotenusa é o segmento ¯AC.
(dAC)2=(dAB)2+(dBC)2(102)2=102+102200=100+100

Logo, o triângulo ABC é retângulo e é isósceles, pois ambos os catetos são iguais. O perímetro do triângulo é dado pela soma dos lados:
P=dAB+dBC+dAC=10+10+102=10(2+2)

Exemplo 5: Dados os pontos A(2,4) e B(7,3), determinar o ponto P sobre o eixo dos x de modo que seja equidistante a A e a B.

Como o ponto POxP(x,0) e como P é equidistante a A e B, então dAP=dBP. Então:
dAP=(xAxP)2+(yAyP)2=(2xP)2+(40)2=(2xP)2+16dBP=xBxP)2+(yByP)2=(7xP)2+(30)2=(7xP)2+9

Fazendo dAP=dBP, vem que:
(2xP)2+16=(7xP)+9(2xP)2+16=(7xP)2+944xP+x2P+16=4914xP+x2P+9xP=3810=195=345
Logo, P(195,0).

Veja mais: 

Retas Perpendiculares
Reta Tangente a uma Curva


COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Distância Entre Dois Pontos No Plano. Publicado por Kleber Kilhian em 11/06/2013. URL: . Leia os Termos de uso.


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Para escrever em LATEX nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

9 comentários:

  1. Olá Kleber... Ótima publicação, você explica muito bem e de uma maneira que fica fácil compreender... O bom de suas matérias é que você cita muitos exemplos e principalmente muitas figuras, para visualizarmos tudo o que está acontecendo... Queria lhe fazer uma pergunta... É você quem faz essas imagens??? Se for poderia me dizer qual o programa que você utiliza para fazer essas imagens??? Isso me ajudaria muito com as publicações no meu blog...

    Att. Romirys Cavalcante

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  2. Olá Romirys, obrigado pelo comentário. Bem, uso vários recursos para gerar imagens. Estas por exemplo, fiz no Corel. Uso também o Paint do Windows. Para fazer construções geométricas, uso o software Régua e Compasso. Tem também o Geogebra. Para fórmulas adotei o script do MathJax, veja o link: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2010/02/latex-no-blogger.html
    Veja este site de torrents, pode te ajudar:
    http://theanonybay.net/torrents/0

    Um abraço!

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    Respostas
    1. Obrigado pelas dicas Kleber, com certeza irão me ajudar bastante a partir de hoje...

      Agora já posso começar a aprofundar publicações no meu blog com mais imagens...

      Sou um admirador do seu trabalho que é feito aqui no Baricentro da Mente... Meu blog feito inspirado nele...

      Att. Romirys Cavalcante

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    2. Se precisar de ajuda, me avise.

      Abraços.

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  3. no exemplo 5 como tirou da Raiz ?

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  4. No exemplo 5, não seria:
    (2xp)2+16=(7xp)2+9
    ao invés de
    (2xp)2+16=(7xp)+9
    Pois o 7-xp volta a estar elevado ao quadrado na linha seguinte.

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  5. Na verdade, como todos o primeiro membro está sob uma raiz e todo o segundo membro está sob uma raiz, nós extraímos as raízes dos membros:

    (2xP)2+16=(7xP)+9
    (2xP)2+16=(7xP)+9

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  6. Olá Kleber, estou finalizando mais uma planilha justamente sobre este tema... Vou referenciar seu artigo, certo?

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    Respostas
    1. Charles, pode usar tranquilamente. Depois eu incluo o link do seu artigo aqui.

      Abraços.

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