05/07/2010

Medidas de Tempos Muito Longos

Que sentido tem falarmos em medir tempos da ordem de milhões de anos? Tem um sentido histórico referente ao passado, ou seja, podemos tentar determinar a idade de objetos ou materiais (época em que foram formados), ou a época no passado em que ocorreram eventos de interesse.

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O principal método empregado para este fim é o da datação radioativa. A idéia básica do método é muito simples e pode ser compreendida pela seguinte analogia: se tivermos sobre uma chama uma chaleira com água e conhecermos a quantidade de água na chaleira no instante em que se inicia a ebulição, bem como a quantidade vaporizada por unidade de tempo, podemos determinar o tempo transcorrido desde o início da ebulição medindo a quantidade de água restante na chaleira.

Um “relógio natural” deste tipo são as substâncias radioativas. A radioatividade foi descoberta por acaso por Henri Becquerel em 1896, pela sensibilização de chapas fotográficas que haviam sido guardadas numa gaveta onde havia sais de urânio. Foi descoberto posteriormente que o urânio emite radiações que o fazem passar por uma série de transmutações radioativas (em elementos diferentes), até chegar a um elemento estável, o chumbo. Descobriu-se também a existência de um grande número de outros elementos radioativos.

O decréscimo com o tempo da quantidade restante de um elemento radioativo não é proporcional ao tempo transcorrido, como no exemplo da chaleira, mas obedece à assim chamada “lei exponencial” da desintegração radioativa. Para entendê-la, vamos de novo recorrer a uma analogia: consideremos um país hipotético onde a taxa de inflação é de 100% ao ano.

image [Figura 1: Decaimento exponencial]

O gráfico acima mostra como evoluiria em função do tempo o valor aquisitivo de uma soma fixa dessa moeda, equivalente a 800 unidades no ano 1970. Ao fim de cada ano, o valor se terá reduzido à metade do valor no ano anterior. O valor após x anos será uma fração do valor inicial dada por:

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Se conhecermos o valor α, podemos então determinar o tempo decorrido x, em anos, por:

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O tempo em que leva para se passar de um dado valor à metade desse valor, chama-se meia-vida. No exemplo acima, a meia-vida do poder aquisitivo da moeda é 1 ano.

O número N de átomos numa amostra de uma substância radioativa também obedece à lei exponencial de desintegração, com meias-vidas que podem variar desde frações de segundo até bilhões de anos, conforme a substância. Costuma-se designar por T1/2 a meia-vida. Por exemplo, para U238 (urânio 238), T1/2 ≈ 4,5 x 109 anos. Se N0 é a população inicial de átomos radioativos (número inicial na atmosfera), após decorrido um tempo t, que corresponde a:

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a população se terá reduzido a uma fração:

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do valor inicial, onde N(t) é o número de átomos radioativos no instante t. Combinando as equações acima, obtemos o valor do tempo decorrido t:

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Na aplicação de método de datação radioativa à medida de tempos muito remotos no passado, tem importância fundamental o fato de que os átomos radioativos são relógios de muita confiança, “a prova de choques”, porque as amostras analisadas terão sido submetidas a tremendas variações de pressão, temperatura e outras condições ambientais. A meia-vida da desintegração radioativa não é afetada por esses fatores, porque depende apenas de processos envolvendo forças de interação e energias nucleares, muito maiores do que as que estão associadas às flutuações do ambiente.

Datação pelo K40

Um dos métodos mais empregados de datação geológica baseia-se nas propriedades de um isótopo radioativo do potássio, o K40. O isótopo de ocorrência mais comum, que é estável, é o K39, e a abundância relativa atual numa amostra de potássio é de 1 átomo de K40 para cada 8.400 átomos de K39.

A meia-vida do K40 é:

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Como sabemos disso? Não é esperando um bilhão de anos para ver uma população inicial reduzir-se a cerca da metade! A meia-vida de uma substância radioativa pode ser medida detectando as radiações por ela emitidas. O número de contagens do detector permite medir a fração dos átomos que se desintegram por segundo, determinando, assim, T1/2. Para ima amostra macroscópica, em que a população de átomos radioativos pode ser da ordem de 1020 átomos, isto leva a um número de contagens por segundo facilmente detectável, mesmo para meias-vidas tão longas como a do K40.

O K40 se desintegra de duas maneiras diferentes, que mantêm proporções fixas entre si: 12% dos átomos de K40 se desintegram em argônio 40 (A40) e os 88% restantes em cálcio 40 (Ca40). O argônio é um gás nobre, ou seja, quimicamente inerte (não se combina com outras substâncias), e fica preso nos interstícios do material que continha o K40, de modo que é preservado após sua formação. Isto já não acontece com o cálcio, que forma vários outros compostos químicos.

Suponhamos, por exemplo, que a análise química de uma amostra de rocha de 1g revele a presença de 4,21 x 10– 2g de potássio (39+40) e 9,02 x 10– 7g de argônio (40). O cálcio não precisa ser analisado. Qual é a idade da amostra?

Podemos obter o número atual de átomos de cada elemento na amostra a partir das quantidades em gramas, lembrando que o número de átomos em 1mol de K ou A é o número de Avogadro:

6,02 x 1023 átomos / mol

e que as massas atômicas são:

K39 à 39,10

A40 à 39,95

Assim, 39,1g de K39 equivalem a 6,02 x 1023 átomos de K39, e 39,95g de A40 equivalem a 6,02 X 1023 átomos de A40.

Os dados acima revelam então que há atualmente na amostra 6,48 x 1020 átomos de potássio e 1,36 x 1016 átomos de argônio. Dada a abundância relativa de K40, o número atual de átomos de K40 é:

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Por outro lado, todos os átomos de A40 na amostra provêm de desintegração do K40, mas só se formam 12 átomos de A40 para cada 100 desintegrações de K40 (as restantes levam ao Ca40). Logo, o número total de átomos de K40 que se desintegram deve ser:

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e a população inicial de K40 na amostra era:

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Substituindo os valores encontrados em (2) e (3) na equação (1), obtemos:

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Onde a meia vida do K40 = T1/2 = 1,3 x 109 anos

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Ou seja, a idade da rocha é de aproximadamente 1,7 x 109 anos. Que significa isso? O instante 0 deve ser interpretado como aquele em que a rocha se formou, ou seja, se solidificou pela última vez a partir de material derretido. A maior parte das rochas da crosta terrestre passou por este processo mais de uma vez.

Além do K40, outros isótopos radiativos de vida longa também são empregados na datação geológica, por exemplo, o U238, com T1/2 = 4,5 x 109 anos, e o Rb87, com T1/2 = 5,0 x 1010 anos. Quando podemos datar a mesma amostra com base em vários isótopos diferentes, os resultados concordam muito bem entre si, justificando a confiança no método e nas hipóteses em que se baseia.

As rochas mais antigas encontradas na Terra têm idades da ordem de 3,5 x 109 anos; fósseis nelas encontrados indicam que as formas mais primitivas de vida já tinham aparecido cerca de 108 anos após a solidificação da crosta terrestre.

A idade da Terra, que podemos identificar com a idade do Sistema Solar, pode ser estimada aplicando o método de datação radioativa a amostras que não tenham passado pelos processos de transformação a que foi sujeita a crosta terrestre. Os meteoritos mais antigos já encontrados têm aproximadamente 4,7 x 109 anos. As rochas lunares mais antigas trazidas pelos astronautas têm aproximadamente 4,6 x 109 anos. O acordo e a consistência entre os dados de fontes diferentes permitem interpretarmos estes números como definindo aproximadamente a idade do Sistema Solar, e, portanto, também da Terra.

Referências

[1] Física Básica, V.1, H. Moysés Nussenzveig


Veja mais:

Medidas de Tempo
O Tempo Absoluto de Newton
O Movimento de Precessão da Terra
EDO: Técnica de Datação por Carbono 14

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