03/04/2011

Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 4)

Esta é uma construção de com sobreposição de circunferências. Duas circunferências concêntricas de raios r e 2r sobrepõem-se a outras duas circunferências concêntricas idênticas, de tal modo que o centro das duas primeiras seja um ponto da circunferência menor da segunda. Unindo com um segmento de reta os pontos de intersecção entre as duas circunferências menores e prolongando-a até o ponto de intersecção das circunferências maiores, obtemos que a razão entre AC e AB é a razão áurea, obtendo PHI.

image [Figura 1]

O problema se resume em determinar as medidas dos segmentos AC e AB. Para isso, considere a figura abaixo:

image [Figura 2]

Vamos determinar primeiramente o comprimento do segmento DB = AD. Considere o triângulo retângulo O2BD. Pelo teorema pitagórico, temos que:

clip_image006

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Para determinarmos o comprimento do segmento DC, aplicamos o teorema pitagórico no triângulo O2CD:

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O comprimento AC é dado por:

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A razão áurea é dada por:

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Esta construção foi desenvolvida por Kurt Hofstetter em 2002 e publicada no Forum Geometricorum, volume 2 em 2002.


Veja mais:

Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 1)
Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 2)
Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 3)

2 comentários:

  1. Olá, Kleber!
    Saímos da "obrigação" de sempre se usar três circunferências para se achar a dimensão áurea. Rsrsrs! Parece complicado, mas, não é, uma vez que os valores dos raios "amarram" a precisão geométrica do desenho. Depois, os Cálculos já são por demais conhecidos, quando trabalhamos com o triângulo retângulo fazendo uso do teorema de Pitágoras.
    Com você, não há problema que não fique... atraente de se ver e fácil de se entender, meus parabéns!
    Um abraço!!!!!

    ResponderExcluir
  2. Olá Valdir!!
    É verdade, não é necessário fazer uso de 3 circunferências para determinar a razão áurea. Mas parece que em muitas construções são nessessárias as condições quanto ao tamanho dos raios, como essa construção por exemplo (r e 2r). Mas de qualquer forma, vale a demonstração por sua beleza e simplicidade de construção.

    Algumas outras construções, envolvem apenas 3 segmento de reta (sem nenhuma circunferência) que é muito interessante. Aos poucos vou publicando.

    Um abraço.

    ResponderExcluir

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