A partir de um cubo de arestas a, como encontrar o ângulo φ formado entre a diagonal da face e a diagonal principal do cubo? Primeiramente, considere o cubo abaixo:
Aplicando o Teorema Pitagórico, conseguimos determinar os valores das diagonais d e D:
Pelas relações trigonométricas, conseguimos obter:
Então, o arco cujo seno é é φ. Ou melhor, o arco seno de φ é .
Para determinarmos o valor de φ, podemos fazer uso de séries infinitas. Pelo Binômio de Newton, temos que:
Para N = – 1/2, temos:
Se trocarmos x por – x2 obteremos:
Para , integrando termo a termo de 0 a θ, temos:
Então, o arco cujo seno é é aproximadamente 0,6151911. Fazendo uma transformação de radianos para graus, usamos a relação:
Logo, o ângulo φ formado entre a diagonal da face do cubo com sua diagonal principal é aproximadamente 35,247853624°.
O erro relativo percentual é dado por:
Onde é o valor aproximado e L é o valor real. Temos:
Fica claro que, se tomarmos mais termos na série infinita acima, melhoramos ainda mais a aproximação.
Veja mais:
A Série de Maclaurin e o Binômio de Newton
Expansão em Série de Taylor
Newton e a Série Infinita para PI
Demonstração da Identidade de Euler
O post ficou muito interessante, pois para calcular o ângulo usamos uma ferramenta distinta da calculadora científica, valorizando as séries infinitas e suas aplicações. Acharia melhor escrever na expressão (9), as frações na forma 3/8 = 1.3/(2.4), 15/48 = (1.3.5)/(2.4.6), mostrando um padrão aritmético na formação desses coeficientes. Abraços!
ResponderExcluirCerto Paulo, em breve faço a alteração.
ResponderExcluirUm abraço.
Me pareceu arbitrário ou forçoso estipular o valor de N=-1/2 e x=-x². Existe algum motivo especial pra esta substituição ?
ResponderExcluirVou procurar se neste blog há algo sobre desenvolvimento em séries de potências pra relembrar. É um assunto que acho bem interessante.
Chacon Alex.
São valores convenientes para os cálculos. Veja pela expressão (6) que se N assume valores inteiros, a potência é trivial. A substituição de $x$ por $-x^2$ se deve por ser conhecida a integral:
ResponderExcluir$\int \frac{du}{\sqrt {a^2-u^2}}=\arcsin \frac{u}{a}+c, u^2<a^2$
Obrigado pelo comentário. Um abraço!
Taí uma coisa que nunca parei para pensar que é este ângulo formado entre a diagonal menor e a maior do cubo. Realmente a matemática é rica em sutilezas desconhecidas. O método que etilizou para calcular este ângulo foi muito elegante, parabéns.
ResponderExcluirPois é. Coisas desse tipo às vezes a gente nem dá a devida atenção. Fiquei com isso muito tempo na cabeça até que resolvi fazer o artigo.
ResponderExcluirObrigado pela visita. Abraços!
Agora compreendi o processo. Houve uma espécie de indução para transformar a série na integral arco-seno. Não me lembrava desta integral.
ResponderExcluirValeram as explicações.
Chacon Alex.
Acho que teve um engano na integração em (8). onde tá (15/48)x^5 sua integral não seria (15/48)θ^6/6 ?
ResponderExcluirÉ que lá está escrito na passagem (9): (15/48)θ^7/7
Chacon Alex.
Olá Chacon, obrigado por indicar o erro. Na verdade, o que estava errado era o exponte "5" que deveria ser "6" na relação (8). Foi um erro cometido na digitação da fórmula, que não interferiu no desenvolvimento subsequente.
ResponderExcluirUm abraço!
Como chegar a fórmula de arcosen x pela série?
ResponderExcluirEstava justamente procurando uma serie dessas para calcular arco seno, não é muito fácil achar isso na internet. Achei que seria algo tipo série de Fourier, em analogia ao cálculo de seno.
ResponderExcluirMuito obrigado!
Olá amigo, fico feliz que tenha lhe ajudado. Obrigado pelo seu comentário. Um abraço!
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