Interpolação Polinomial - Resolução por Sistema Linear

Introdução

Interpolar uma fincão f (x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g (x), escolhida em uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. Dessa forma g (x) é usada em substituição a f (x).

Essa necessidade de usar uma função de aproximação g (x), surge em várias situações:

a) Quando só sabemos os valores numéricos de alguns pontos da função e precisamos calcular o valor da função num ponto intermediário;

b) Quando a função tem uma expressão tal que operações como a diferenciação ou integração são difíceis ou mesmo impossíveis de serem realizadas.

A tabela abaixo relaciona calor específico e temperatura da água:

Através desta tabela, só podemos saber os valores referentes aos pontos analisados. Mas podemos utilizar a interpolação polinomial para encontrarmos valores intermediários, como por exemplo, o calor específico da água a 32,5°C.

Conceito de Interpolação

Sejam N + 1 pontos distintos:

Chamamos de nós de interpolação. E os valores de f (x) nesses pontos:

A interpolação polinomial de f (x) consiste em obter uma função g (x), tal que:

Graficamente teremos algo como:

[Figura 1]

Vejam que, apesar das funções f (x) e g (x) gerarem curvas diferentes, os nós são iguais.

Interpolação Polinomial

Sejam N +1 pontos:

Queremos aproximar f (x) por um polinômio P_N (x), de grau menor ou igual a N, onde:

Representaremos P_N (x) por:

Então, obter P_N (x) significa obter os coeficientes:

A matriz dos coeficientes do polinômio de grau N é a Matriz de Vandermonde:

Desde que sejam pontos distintos, teremos , admitindo solução única ao sistema linear

Teorema 1: Existe um único polinômio P_N (x), de grau menor ou igual a N, tal que:

Desde que

Resolução do Sistema Linear

Exemplo 1: Determinar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpole os dados da tabela abaixo:

Temos então que:

Desta forma, substituímos os valores de x₀, x₁ e x₂ em P₂ (x), obtendo:

Montamos o sistema linear de três equações e três incógnitas:

Resolvendo o sistema linear, pelo método de Gauss, pelo método da substituição ou pelo método de Castilho, obtemos:

E finalmente obtemos P₂ (x) que interpola f (x) nos pontos tabelados:

Exemplo 2: Determinar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpole o dados da tabela abaixo:

Montamos então, o sistema linear:

Resolvendo o sistema linear, obtemos que:

O polinômio P₂ (x) que interpola f (x) nos pontos tabelados é:

Agora, se quisermos interpolar um valor intermediário a dois pontos tabelados, como por exemplo, x = 0,666, fazemos:

Referências

[1] Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais – Márcia Ruggiero – 2ª Ed – Ed. Makron Books

[2] Notas de Aula

---

Veja mais:

Polinômio Interpolador de Lagrange
Regressão Polinomial
Interpolação Polinomial partes 1, 2 e 3 no blog Fatos Matemáticos

---