02/04/2011

Uma Série Infinita para a Função Arco seno

A partir de um cubo de arestas a, como encontrar o ângulo φ formado entre a diagonal da face e a diagonal principal do cubo? Primeiramente, considere o cubo abaixo:

image [Figura 1 – Cubo]

Aplicando o Teorema Pitagórico, conseguimos determinar os valores das diagonais d e D:

clip_image002

clip_image004

clip_image006

clip_image008

clip_image010

clip_image012

clip_image014

Pelas relações trigonométricas, conseguimos obter:

clip_image016

clip_image018

clip_image020

Então, o arco cujo seno éclip_image022 é φ. Ou melhor, o arco seno de φ é clip_image022[1].

Para determinarmos o valor de φ, podemos fazer uso de séries infinitas. Pelo Binômio de Newton, temos que:

clip_image024

Para N = – 1/2, temos:

clip_image026

Se trocarmos x por – x2 obteremos:

clip_image028

clip_image002

Para clip_image032, integrando termo a termo de 0 a θ, temos:

clip_image002[4]

clip_image034

Se clip_image036 então:

clip_image038

clip_image040

clip_image042

Então, o arco cujo seno é clip_image022[2] é aproximadamente 0,6151911. Fazendo uma transformação de radianos para graus, usamos a relação:

clip_image044

Logo, o ângulo φ formado entre a diagonal da face do cubo com sua diagonal principal é aproximadamente 35,247853624°.

O valor correto do clip_image046

O erro relativo percentual é dado por:

clip_image048

Onde clip_image050 é o valor aproximado e L é o valor real. Temos:

clip_image052

Fica claro que, se tomarmos mais termos na série infinita acima, melhoramos ainda mais a aproximação.


Veja mais:

A Série de Maclaurin e o Binômio de Newton
Expansão em Série de Taylor
Newton e a Série Infinita para PI
Demonstração da Identidade de Euler

10 comentários:

  1. O post ficou muito interessante, pois para calcular o ângulo usamos uma ferramenta distinta da calculadora científica, valorizando as séries infinitas e suas aplicações. Acharia melhor escrever na expressão (9), as frações na forma 3/8 = 1.3/(2.4), 15/48 = (1.3.5)/(2.4.6), mostrando um padrão aritmético na formação desses coeficientes. Abraços!

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  2. Certo Paulo, em breve faço a alteração.

    Um abraço.

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  3. Me pareceu arbitrário ou forçoso estipular o valor de N=-1/2 e x=-x². Existe algum motivo especial pra esta substituição ?

    Vou procurar se neste blog há algo sobre desenvolvimento em séries de potências pra relembrar. É um assunto que acho bem interessante.

    Chacon Alex.

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  4. São valores convenientes para os cálculos. Veja pela expressão (6) que se N assume valores inteiros, a potência é trivial. A substituição de $x$ por $-x^2$ se deve por ser conhecida a integral:
    $\int \frac{du}{\sqrt {a^2-u^2}}=\arcsin \frac{u}{a}+c, u^2<a^2$
    Obrigado pelo comentário. Um abraço!

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  5. Taí uma coisa que nunca parei para pensar que é este ângulo formado entre a diagonal menor e a maior do cubo. Realmente a matemática é rica em sutilezas desconhecidas. O método que etilizou para calcular este ângulo foi muito elegante, parabéns.

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  6. Pois é. Coisas desse tipo às vezes a gente nem dá a devida atenção. Fiquei com isso muito tempo na cabeça até que resolvi fazer o artigo.

    Obrigado pela visita. Abraços!

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  7. Agora compreendi o processo. Houve uma espécie de indução para transformar a série na integral arco-seno. Não me lembrava desta integral.
    Valeram as explicações.


    Chacon Alex.

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  8. Acho que teve um engano na integração em (8). onde tá (15/48)x^5 sua integral não seria (15/48)θ^6/6 ?
    É que lá está escrito na passagem (9): (15/48)θ^7/7


    Chacon Alex.

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  9. Olá Chacon, obrigado por indicar o erro. Na verdade, o que estava errado era o exponte "5" que deveria ser "6" na relação (8). Foi um erro cometido na digitação da fórmula, que não interferiu no desenvolvimento subsequente.

    Um abraço!

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  10. Como chegar a fórmula de arcosen x pela série?

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