19/05/2011

Aproximação de PI pelos Egípcios

Os egípcios antigos já empregavam linguagem simbólica para representar duas operações aritméticas: a soma era representada por duas pernas caminhando na direção da escrita e a subtração por pernas no sentido oposto.


Ahmes ensina como calcular a área do círculo. Sem justificar, ele diz que tal área é igual à área de um quadrado cujo lado é $8/9$ do diâmetro do círculo. Em linguagem moderna é o mesmo que dizer que $\pi = 3,1605$, uma ótima aproximação para a época.

A figura que Ahmes utilizou não foi um círculo, mas sim um octógono:



O lado do quadrado circunscrito ao octógono mede $D$, que também é o diâmetro do círculo circunscrito ao mesmo quadrado e sobreposto ao octógono.

Então, a área do quadrado será dada por:
\begin{equation}
A_{Quadrado} = D^2
\end{equation}
Dividindo-se cada lado do quadrado em $3$ partes, podemos formar um octógono. A área de cada triângulo formado pelos vértices do quadrado será dada por:
\begin{equation}
A_{Triângulo} = \frac{\displaystyle \frac{1}{3}D \cdot \frac{1}{3}D}{2}= \frac{1}{18}D^2
\end{equation}
Assim, a área do octógono é a diferença entre a área do quadrado e dos quatro triângulos:
\begin{equation}
A_{Octógono} = D^2- 4\cdot \frac{1}{18}D^2\\
A_{Octógono} = \frac{7}{9}D^2
\end{equation}
Se o círculo tem diâmetro $D = 9$, logo a área do octógono será igual a $63$. Ahmes, então, aproximou este valor para $64$, que é um quadrado perfeito:
\begin{equation*}
63 \approx 64
\end{equation*}
Em notações modernas, temos que a área do círculo é dada por:
\begin{equation}
A_C = \pi r^2
\end{equation}
E assim, a área do octógono de diâmetro $D = 9$, cuja área se aproxima a de um quadrado de lado igual a $8$, pode ser escrita como:
\begin{equation}
A_C = \pi r^2\\
64 \approx \pi \left(\frac{9}{2}\right)^2\\
\pi \approx 3,1605
\end{equation}
Que é foi uma ótima aproximação para a época. Desta forma, os egípcios anteciparam-se aos gregos em mais de um milênio na ideia correta de aproximar um círculo por meio de polígonos. Na introdução de seu papiro, Ahmes diz basear-se em antigos escritos que hoje os historiadores acreditam ser datados de $1900 a.C.$.

Referências:

[1] Introdução à História da Matemática - Howard Eves - Ed. Unicamp
[2] Notas de aula

Veja mais:

Newton e a Série Infinita para PI
Uma Breve Cronologia de PI
O Seqt de uma Pirâmide



2 comentários:

  1. Olá, Kleber!
    Essa dançinha egípcia... pra lá e pra cá, indicando se a operação matemática era de somar ou subtrair... eu nunca tinha ouvido falar dela, muito interessante!
    Também, não menos interessante.. é a informação de que isso era baseado em conhecimento matemático anterior! De quem? Sumério ou babilônico? Hindu, chinês e o que mais? Como sempre, fiquei curioso!
    De resto, acredito que... só com os gregos e na figura do Arquimedes, para dar uma maior precisão... é que esse valor de Pi, tenha sido posto de lado.
    Ótimo trabalho, parceiro e meus parabéns!
    Um abraço!!!!!

    ResponderExcluir
  2. Pois é Valdir, como você mesmo disse: "os velhinhos sabiam das coisas". Acho incrível os métodos alternativos que utilizavam para resolver problemas. Os egípcios tinham sua matemática totalmente voltada para as tarefas diárias; as abstrações vieram com os gregos.

    Um abraço.

    ResponderExcluir

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