Igualdade entre um Círculo Tangente a uma Esfera Inscrita e a Coroa Circular do Círculo Máximo da Esfera Circunscrita

Calma! O título é extenso, mas a demonstração é bem simples e rápida: Sejam duas esferas concêntricas, cujos raios soa R e r. Vamos mostrar que a área circular formada por um plano tangente à esfera inscrita é igual à área da coroa circular formada no círculo máximo da esfera circunscrita. Veja a figura abaixo:

As áreas dos círculos máximos das esferas são dadas por:

Onde A_C é a área do círculo máximo da esfera circunscrita e A_I é a área do círculo máximo da esfera inscrita. Logo, a área A₁ da coroa circular é dada por:

Aplicando o teorema pitagórico no triângulo retângulo OBC, encontramos o valor para o raio t do círculo tangente em função dos raios R e r:

A área A₂ do círculo tangente é dada por:

Comparando as relações (1) e (3), vemos que as áreas A₁ e A₂ são iguais. Isto é fácil de verificar:

1) Se a esfera inscrita tem seu raio r = R, o círculo tangente terá área nula assim como a área da coroa circular;

2) Se a esfera inscrita tem seu raio r = 0, o círculo tangente será o próprio círculo máximo da esfera circunscrita.

Vejamos: Se duas esferas concêntricas de raios iguais a R = 3 e r = 2, qual será o valor do raio t do círculo tangente e qual será o valor para as áreas A₁ e A₂?

A área A₁ será:

Para o raio t, fazemos:

Logo, a área A₂, será:

Logo, A₁ = A₂.

 

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Veja mais:

A Área da Coroa Circular
Sobre a Esfera e o Cilindro
O Teorema de Pitágoras Segundo Euclides - A Proposição I-47

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