16/05/2011

A regra de sinais, segundo Diofanto

Diofanto foi o pioneiro na criação de uma simbologia algébrica que, mesmo rudimentar, ajudava a tornar menos difíceis as representações de incógnitas, igualdades, somas, subtrações, inversos, potências, etc.

Até então, o que se tinha era uma “álgebra retórica” em que a solução dos problemas era discutida unicamente por meio de palavras. Com Diofanto, passou-se à “álgebra sincopada”, em que algumas operações eram representadas por abreviações. Somente no século XVI , de maneira gradativa, começou a surgir a moderna “álgebra simbólica”.

As incursões de Diofanto na Geometria foram raras, mas em uma delas ele produziu uma pequena pérola, demonstrando, através de um diagrama geométrico, que no desenvolvimento do produto:
\begin{equation*}
(a-b)(c-d)
\end{equation*}

Obtém-se:
\begin{equation*}
(-b)(-d)=+bd
\end{equation*}
ou seja, a famosa regra “menos vezes menos dá mais”.

Considere a figura abaixo, onde $a$, $b$, $c$ e $d$ estão representados por segmentos de retas:

A regra de sinais, segundo Diofanto


Podemos ver que a área do retângulo de lados a e c é a soma das áreas dos 4 retângulos nele contidos. Assim:
\begin{equation*}
ac = (a-b)(c-d)+b(c-d)+d(a-b)+bd
\end{equation*}
Desenvolvendo os produtos $b(c – d)$ e $d(a – b)$, que Euclides já havia demonstrado serem, respectivamente, $bc – bd$ e $ad – bd$, temos:
\begin{equation*}
(a-b)(c-d) + bc - bd + ad - bd+ bd = ac\\
\ \\
(a-c)(c-d) + bc -bd + ad = ac\\
\ \\
(a-b)(c-d) = ac-ad-bc+bd
\end{equation*}
Demonstrando que no desenvolvimento do produto $(a – b)(c – d)$ a parcela correspondente a $(– b)(– d) = +bd$.

Isso mostra que a regra de sinais não é uma convenção e sim um teorema. Mas, somos obrigados a estabelecer uma convenção se quisermos que a propriedade distributiva do produto em relação à soma, também valha para números negativos, e essa é a essência da prova de Diofanto.

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Referências:

  • Gilberto G. Gabbi – A Rainha das Ciências – Um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática.

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4 comentários:

  1. Essa álgebra através de figuras é bem interesantes. No blog, eu tratei de algo semelhante, "blocos algébricos no ensino fundamental" que também explora estes fatos, inclusivo com sinal negativo. Veja o link http://fatosmatematicos.blogspot.com/2009/11/blocos-algebricos-no-ensino-fundamental.html

    Parabéns pelo post e aproveite e corrija a segunda expressão, acho que é (-b)(-d) = +bd.

    Obrigado por citar o outro link. Abraços!

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  2. Olá Paulo,
    Obrigado por indicar seu link. Já adiconei ao corpo do texto. E o erro de digitação também foi corrigido.
    Um abraço.

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  3. Olá, Kleber!
    Parceiro, meus parabéns! Essa... foi na mosca, para matar a questão da "regra dos sinais" para os não deficientes visuais... rsrsrsrs, através de algo palpável e convincente! Que coisa, os "velhinhos" do passado sabiam das coisas e... sabe daquela minha redescoberta sobre: como calcular a área de polígonos apenas usando os pontos do vértices deles (mate mágica na área)? Pois é, e vejo que tem explicação através dessa demonstração geométrica.
    Um abraço!!!!!

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  4. Como exatamente se dá esta relação com seu post?

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