31/08/2011

Regra de 1/3 de Simpson Repetida

Seja o Polinômio de grau 2 que interpola f (x) nos pontos:

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Das relações acima, podemos obter outras que serão úteis no desenvolvimento deste estudo:

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Podemos utilizar o polinômio de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f (x) por um polinômio P2(x):

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Relembrando que o polinômio de Lagrange de grau 2 é dado por:

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Assim, temos:

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Substituindo as relações de (4) a (9) na integral acima, obtemos:

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Para resolvermos as integrais, fazemos uma mudança de variáveis conveniente, de modo que:

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Assim, para:

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Desta forma, as integrais acima ficam:

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A relação (19) é a fórmula de 1/3 de Simpson. Mas para determinadas funções, cometemos um erro ao aproximar f (x) por um polinômio P2(x):

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A fim de contornar este problema, podemos aplicar a regra de Simpson repetida vezes no intervalo [a , b] = [x0 , xm]. Suponha que x0, x1, ... , xm são pontos igualmente espaçados, onde:

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Uma condição necessária é que m seja para, pois cada parábola utiliza três pontos consecutivos e para cada par de intervalo, temos:

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Então:

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Assim, a fórmula de 1/3 de Simpson Repetida fica:

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Exemplo: Calcular uma aproximação para a função abaixo utilizando a regra de 1/3 de Simpson repetida. Considere m = 10:

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Desta forma, teremos:

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Assim:

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Se a integral definida na função, obteremos:

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Comparando os resultados de (20) e (21), vemos que o erro aparece na sexta casa decimal. Se quisermos ter uma aproximação ainda melhor, basta aumentarmos o valor de m o quanto desejarmos.


Referências

[1] Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais - Márcia Ruggiero
[2] Notas de Aula


Veja mais:

O Cálculo Integral
Regra dos Trapézios Repetida
Zeros Reais de Funções Reais - O Método de Newton – Raphson

7 comentários:

  1. Cara, acho que há um erro de digitação aí...

    e^1 é aprox. 2,7... não 1,7...

    ResponderExcluir
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    1. cara, so que tem que subtrair por e^0 = 1

      Excluir
  2. Você diz no final do item (21)? Se for, neste caso não é $e^1$, mas sim:
    $e^1−e^0=2,7\cdots −1$
    e assim dá aproximadamente 1,7...

    ResponderExcluir
  3. Na parte do

    "Assim para:
    (16)
    (17)
    (18)"

    de onde você tira as conclusões?

    ResponderExcluir
  4. Veja que $x_0$, $x_1$ e $x_2$ são pontos definidos. Já $x$, é um valor qualquer. Sendo assim, tome as relações 13, 14, 15. Se $x = x_0$, pela relação 13, $z = 0$, já que $h$ não pode ser, pois $h = x1 - x0 = x2 - x2 = ...$
    Use um raciocínio análogo para 17 e 18.
    Abraços.

    ResponderExcluir
  5. Nessa parte==> Assim, a fórmula de 1/3 de Simpson Repetida fica:
    Aqui a fórmula, no caso faltou multiplicar o f(x1) por 4, ficaria assim f(x0) + 4*f(x1)....

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. É verdade. Me parece que foi um erro na digitação. Agradeço pelo aviso. Em breve farei a correção. um abraço.

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