Seja o Polinômio de grau 2 que interpola f (x) nos pontos:
Das relações acima, podemos obter outras que serão úteis no desenvolvimento deste estudo:
Podemos utilizar o polinômio de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f (x) por um polinômio P2(x):
Relembrando que o polinômio de Lagrange de grau 2 é dado por:
Assim, temos:
Substituindo as relações de (4) a (9) na integral acima, obtemos:
Para resolvermos as integrais, fazemos uma mudança de variáveis conveniente, de modo que:
Assim, para:
Desta forma, as integrais acima ficam:
A relação (19) é a fórmula de 1/3 de Simpson. Mas para determinadas funções, cometemos um erro ao aproximar f (x) por um polinômio P2(x):
A fim de contornar este problema, podemos aplicar a regra de Simpson repetida vezes no intervalo [a , b] = [x0 , xm]. Suponha que x0, x1, ... , xm são pontos igualmente espaçados, onde:
Uma condição necessária é que m seja para, pois cada parábola utiliza três pontos consecutivos e para cada par de intervalo, temos:
Então:
Assim, a fórmula de 1/3 de Simpson Repetida fica:
Exemplo: Calcular uma aproximação para a função abaixo utilizando a regra de 1/3 de Simpson repetida. Considere m = 10:
Desta forma, teremos:
Assim:
Se a integral definida na função, obteremos:
Comparando os resultados de (20) e (21), vemos que o erro aparece na sexta casa decimal. Se quisermos ter uma aproximação ainda melhor, basta aumentarmos o valor de m o quanto desejarmos.
Referências
[1] Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais - Márcia Ruggiero
[2] Notas de Aula
Veja mais:
O Cálculo Integral
Regra dos Trapézios Repetida
Zeros Reais de Funções Reais - O Método de Newton – Raphson
Cara, acho que há um erro de digitação aí...
ResponderExcluire^1 é aprox. 2,7... não 1,7...
cara, so que tem que subtrair por e^0 = 1
ExcluirVocê diz no final do item (21)? Se for, neste caso não é $e^1$, mas sim:
ResponderExcluir$e^1−e^0=2,7\cdots −1$
e assim dá aproximadamente 1,7...
Na parte do
ResponderExcluir"Assim para:
(16)
(17)
(18)"
de onde você tira as conclusões?
Veja que $x_0$, $x_1$ e $x_2$ são pontos definidos. Já $x$, é um valor qualquer. Sendo assim, tome as relações 13, 14, 15. Se $x = x_0$, pela relação 13, $z = 0$, já que $h$ não pode ser, pois $h = x1 - x0 = x2 - x2 = ...$
ResponderExcluirUse um raciocínio análogo para 17 e 18.
Abraços.
Nessa parte==> Assim, a fórmula de 1/3 de Simpson Repetida fica:
ResponderExcluirAqui a fórmula, no caso faltou multiplicar o f(x1) por 4, ficaria assim f(x0) + 4*f(x1)....
É verdade. Me parece que foi um erro na digitação. Agradeço pelo aviso. Em breve farei a correção. um abraço.
Excluir