Quantos Números Primos Existem?

Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)

Euclides demonstrou que existem infinitos primos. A demonstração de Euclides é muito simples, se não, vejamos:

Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam p₁, p₂, p₃, ..., p_n primos. Seja P um número tal que:

Se P for um número primo, é necessariamente diferente dos primos p₁, p₂, p₃, ..., p_n, pois sua divisão por qualquer um deles tem resto 1. Em contrapartida, se P é composto, na fatoração de P existe um número primo q tal que q > p_n. Logo existe um novo número primo.

Exemplos numéricos:

Podemos fatorar o número 30031:

Como os números 59 e 509 são os fatores primos do número 30031, logo, além do número primo p_n = 13, existem mais dois novos números primos q e p₁, tais que:

Quando vi a palavra “fatoração” e a expressão “fatores primos” na demonstração de Euclides, veio-me a ideia de tentar dar uma demonstração usando fatoração e os fatores primos de um número inteiro. Quando digo “tentar dar uma demonstração”, é porque ainda não tenho certeza se na minha demonstração existe alguma falha.

Deixo uma advertência: já que seria, até impossível, consultar todos os livros de teoria dos números publicados, por autores brasileiros e estrangeiros, e como já houve casos, na história da Matemática, de dois matemáticos morando em países diferentes fazerem demonstrações idênticas, logo, se por acaso alguma demonstração idêntica a minha já foi publicada por algum matemático, brasileiro ou estrangeiro, é mera coincidência.

Demonstração da Infinidade de Números Primos

Seja x > 1 um número inteiro. O sucessor de x é x + 1. Como x e x + 1 são primos entre si, logo, x(x + 1) tem no mínimo dois fatores primos distintos.

Exemplo:

O sucessor de x(x + 1) é x(x + 1) + 1. Pelo mesmo raciocínio anterior, x(x + 1) + 1 e x(x + 1) são primos entre si. Multiplicando os dois números, temos:

Como um de seus fatores tem pelo menos dois fatores primos, logo, o produto dos dois tem pelo menos três fatores primos distintos.

Exemplo:

Como o processo multiplicativo pode ser repetido indefinidamente, e já que o n-ésimo produto terá no mínimo n-ésimo + 1 fatores primos distintos, logo, há infinitos números primos.

Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.

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Veja mais:

A Demonstração de Euclides Sobre a Existência de Infinitos Números Primos
Construindo uma Sequência de Números Não-Primos
Teste de Primalidade no blog Fatos Matemáticos
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