29/05/2011

Construção Geométrica da Hipérbole com Régua e Compasso

Vamos construir uma hipérbole a partir de seus vértices e de seus focos. Sejam dados o eixo real contendo os focos F1 e F2, os vértices A1 e A2 e o centro C:

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Para o ramo da esquerda, com a ponta seca do compasso em F1 e raio qualquer menor que 1C, marque o ponto e1 e com mesma abertura com a ponta seca em e1, marque e2 e do mesmo modo marque e3. Para o ramo da direita proceda da mesma forma, sendo F2d1 = F1e1.

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Com centro em F1 e abertura igual a A1e1, A1e2 A1e3, descreva os arcos indicados em verde; Para o ramo da direita, proceda da mesma forma com centro em F2:

image Agora, com a ponta seca do compasso em F1 e abertura igual a A1d1, A1d2 e A1d3, descreva arcos interceptando os arcos traçados na etapa anterior; Com centro em F2, proceda da mesma forma:

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Por estes pontos de intersecção e pelos vértices A1 e A2, passam os ramos da hipérbole:

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Para encontrarmos as assíntotas, descrevendo uma circunferência centrada em C e raio CF1. Trace perpendiculares ao eixo real passando pelos vértices A1 e A2. Os pontos de intersecção com circunferências definem o quadrilátero MNPQ. As assíntotas sãos os prolongamentos das diagonais desse quadrilátero:

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Vejam os ramos da hipérbole em preto e as assíntotas em azul.


Veja mais:

A Equação da Hipérbole
Construções Geométricas de Tangentes com Régua e Compasso (Parte 1)
Construções Geométricas de Tangentes com Régua e Compasso (Parte 2)

27/05/2011

A Equação da Hipérbole

Definição: A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valores absolutos, a dois pontos fixos desse plano é constante.

Sejam dois pontos distintos F1 e F2 de um plano π, cuja distância d(F1 , F2) = 2c. Seja um número real a tal que 0 < 2a < 2c.

Hipérbole é o conjunto de todos os pontos P do plano, tais que:

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ou

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[Figura 1: Hipérbole]

Como podemos ver, a hipérbole é uma curva com dois ramos. Analisando a equação (2), podemos ver que um ponto P está na hipérbole se, e somente se:

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Quando P está no ramo da direita, a diferença é igual a +2a:

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e quando P estiver no ramo da esquerda, a diferença será – 2a:

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Considerando a reta que passa por F1 e F2, as intersecções com a hipérbole serão os pontos A1 e A2. Traçamos uma perpendicular a esta reta, passando pelo centro C do segmento F1 e F2.

image [Figura 2: Eixos de Simetria da Hipérbole]

A hipérbole é uma curva simétrica em relação às estas duas retas, como também ao ponto C. Se P1 é um ponto da hipérbole, existem outros pontos P2, P3 e P4 tais que: P2 é o simétrico de P1 em relação à reta horizontal; P3 é o simétrico de P1 em relação à reta vertical; P4 é o simétrico a P1 em relação ao ponto C. Pela simetria, concluímos que:

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Elementos da Hipérbole

Os principais elementos de uma hipérbole estão relacionados abaixo, considerando a figura 3:

image [Figura 3: Elementos da Hipérbole]

Focos: F1 e F2

Distância focal: é a distância 2c entre os focos, onde c = CF1=CF2

Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2

Eixo real ou transverso: é o segmento A1A2, de comprimento 2a, onde a = CA1 = CA2

Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2, de comprimento 2b. O valor de b é definido pela relação pitagórica:

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onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo retângulo CA2M.

Assíntotas: são as retas r e s das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos focos. Esta aproximação é contínua e lenta de forma que a tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no infinito.

Considerando uma circunferência de raio CF1 ou CF2, cujo centro C é o mesmo centro da hipérbole, traçamos pelos vértices A1 e A2 cordas perpendiculares ao segmento F1F2 e marcamos as intersecções com a circunferência. Esses pontos são os vértices do retângulo MNPQ inscrito à circunferência. Esse retângulo tem dimensões 2a e 2b.

As retas r e s que contém as diagonais desse retângulo são as assíntotas da hipérbole.

Abertura: o ângulo θ é chamado de abertura da hipérbole

Excentricidade: a excentricidade e da hipérbole é o número dado pela relação:

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A excentricidade da hipérbole está intimamente relacionada com sua abertura. Se mantivermos o segmento c fixo e variarmos apenas o comprimento do segmento a, teremos uma abertura maior quando a é menor e vice-versa. Então, se diminuirmos o valor de a teremos uma excentricidade maior e = c / a. Assim os ramos da hipérbole estarão mais abertos.

Quando a = b o retângulo MNPQ se transforma num quadrado, torando as assíntotas perpendiculares e a abertura da hipérbole será igual a θ = 45°. Para este caso específico a hipérbole recebe o nome de Hipérbole Equilátera.

 

Equação Reduzida da Hipérbole

1º Caso: O Eixo Real está sobre o Eixo dos x:

Tomando um sistema ortogonal, com o centro C da hipérbole na origem do sistema, temos que:

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image [Figura 4: Eixo rel sobre eixo dos x]

Seja um ponto P(x, y) da hipérbole, cujos focos são os pontos F1(– c,0) e F2( c,0). Por definição temos que:

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Em coordenadas:

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Quadramos ambos os lados:

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Quadramos novamente ambos os lados:

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Substituímos a relação (4) na (5), obtendo:

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Dividindo ambos os lados por a2b2, resulta em:

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Que é a equação da hipérbole.

 

2º Caso: O Eixo Real está sobre o Eixo dos y:

Tomando um sistema ortogonal, com o centro C da hipérbole na origem do sistema, temos que:

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image [Figura 5: Eixo real sobre o eixo dos y]

Analogamente ao primeiro caso, chegamos à equação da hipérbole:

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Referências

[1] Geometria Analítica – Steinbruch & Winterle

[2] Matemática: Ciência e Aplicações V3 – Iezzi, Dolce, Et al


Veja mais:

A Equação da Elipse
Um modo de Calcular a Integral Indefinida da Hipérbole no blog Fatos Matemáticos
Os Modelos Hiperbólicos de Crochê no blog Matheusmathica

21/05/2011

Construindo uma Sequência de Números Não-Primos

Podemos construir sequências de números naturais, com quantos números quisermos, sem que haja nela um único número primo! Para isso, utilizamos a fórmula:

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Vamos relembrar primeiramente alguns conceitos sobre fatorial e números primos.

Se um evento A pode ocorrer de m maneiras e um segundo evento B pode ocorrer de n maneiras distintas, então o número de maneiras que esses eventos podem ocorrer um seguido do outro é m x n.

Em outras palavras, por exemplo, um estudante pode posicionar 5 livros na prateleira de 120 maneiras diferentes, pois o número de permutações (P) de 5 livros na prateleira é:

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Nos problemas de contagem, essa multiplicação de números inteiros decrescentes aparece com tanta frequência que os matemáticos inventaram um símbolo só para representá-la.

O fatorial de um número é simbolizado por n! e le-se “n-fatorial”. A origem do símbolo de fatorial (!) foi introduzido pela primeira vez em 1808 pelo professor universitário Christian Kramp (1760 – 1826) de Estrasburgo, França, a fim de contornar as dificuldades encontradas na escrita de seu Éléments d’arithmétique universelle ou d’Algèbre.

No ano de 1811, Legendre denotou n-fatorial usando a letra grega Gama em Exercicies de calcul integral, I, p.277. Paris 1811:

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Para este efeito, Gauss utilizou a letra grega Pi maiúscula em Commentationes Societatis regice scientiarum Gottingenis recentiores, vol. 2, 1811 – 1813:

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Então, para 5! temos:

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Para o fatorial de um número n qualquer, temos o produto:

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Exemplos:

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Por definição, fatorial de 0 é 1, pois:

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Se fizermos n = 1, obteremos:

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Uma propriedade dos fatoriais, muito interessante na hora de simplificações é que:

clip_image002[6]

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Portanto:

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Generalizando:

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Agora que já conseguimos entender um pouco melhor sobre fatoriais, vamos passar aos números primos.

Um número primo é um número inteiro positivo, diferente da unidade (1) e que só possui dois divisores: ele mesmo e a unidade. Por exemplo, os números: 2, 3, 5, 7, ...

Todo número fatorial é divisível por todos os números que entram na multiplicação até chegar a valo do fatorial, ou seja:

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Logo, n! não é um número primo, para n maior que 2. Podemos definir que todo número fatorial é um número composto.

Se dois números são múltiplos do mesmo número, então a soma desses dois números é também um múltiplo desse número, ou seja, é divisível por esse número. Assim, se a e b são múltiplos de k:

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Desta forma, se tomarmos a sequência abaixo, teremos uma sequência de números compostos, pois cada número fatorial é divisível por cada um dos números que entrou na multiplicação, e a soma do fatorial com um desses números também é divisível por este número:

clip_image002[1]

Essa sequência gera um conjunto de números sucessivos onde não contém nenhum número primo.

Para n = 6, temos:

clip_image002[8]

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E é válida para qualquer n maior que 2:

Para n = 7, teremos um conjunto com seis números começando em 5.042.

Para n = 11, teremos um conjunto com dez números começando em 39.916.802.

Para n = 23, teremos um conjunto de vinte e dois números começando em 25.852.016.738.884.976.640.002.

Quanto mais aumentamos o valor de n, mais dificilmente encontramos um número primo e as sequências ficarão com uma quantidade maior de números.

Assim, podemos montar uma sequência com 40 bilhões de números, basta fazer:

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O único problema será escrever cada um dos números desta sequência com quase 10 bilhões de zeros!

Referências:

[1] Revista Cálculo, V3, 2011

[2] History of Symbol for n-factorial - http://www.jstor.org

[3] http://mathematicsprojects.blogspot.com



Veja mais:

Dirichlet e os Números Primos
A História do Símbolo do Infinito
Uma Sequência de Quadrados Perfeitos no blog Fatos Matemáticos

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