14/03/2013

Retificação da Circunferência (Parte 7)

Hoje, 14 de março, (do inglês 3/14), comemora-se o dia internacional do $\pi$. Como forma de homenagear esta constante, que desde os egípcios antigos persegue os matemáticos, desenvolvi esta construção com apenas régua e compasso, onde podemos aproximar $\pi$ em três casas decimais por um seguimento de reta.



Construção:

1) Trace um par de eixos ortogonais e descreva uma circunferência de raio unitário centrada na origem $O$ marcando os pontos $B$ e $C$ na intersecção com a circunferência.

2) Com centro em $C$ e raio $CB=\sqrt{2}$, descreva uma circunferência e marque os pontos $D$ e $E$ no eixo vertical.

3) Trace a bissetriz do ângulo $\angle BAC$ e marque o ponto $F$ na intersecção com a circunferência de centro $C$.

4) Trace um seguimento vertical por $F$ e um segmento horizontal por $E$. A intersecção desses segmentos gera o ponto $G$.

5) O segmento $DG$ aproxima $\pi$ em $\pi=3,141$.


Demonstração:

Seja $\alpha:x^2+y^2=1$ a circunferência de raio unitário centrada na origem. Seja $\beta$ a circunferência de raio $\sqrt{2}$ centrada no ponto $C(0,1)$, ou seja:
$$\beta:x^2+(y-1)^2=2$$
Vejam que $\beta$ intercepta o eixo dos $y$ nos pontos $y=1\pm \sqrt{2}$. Assim, $D(0,1-\sqrt{2})$ e $E(1+\sqrt{2})$.

Por construção, $BC$ é a bissetriz dos quadrantes ímpares e, portanto, o ponto $F$ é resultante da intersecção de $r$ com $\beta$ e é dado pelo sistema de equações:
$$
\left\{\begin{matrix}
x^2+(y-1)^2&=&2\\
y&=&x
\end{matrix}\right.
$$
ou seja:
\begin{matrix}
x^2+(x+1)^2=2\\
2x^2-2x-1=0\\
x_F=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\\
\end{matrix}
Assim, as coordenadas do ponto $G$ são $x_F$ e $y_E$, ou seja:
$$G\left (\frac{1+\sqrt{3}}{2},1+\sqrt{2}\right )$$
Logo,
\begin{matrix}
DG^2=\left (\frac{1+\sqrt{3}}{2}-0 \right)^2 + \left (1+\sqrt{2}-1+\sqrt{2}\right)^2\\
DG^2=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{4}+(2\sqrt{2})^2\\
DG^2=9+\frac{\sqrt{3}}{2}\\
DG=\sqrt{\frac{18+\sqrt{3}}{2}}\\
DG\simeq 3,141\\
\end{matrix}
Uma curiosidade nesta construção é que  temos a presença de uma outra constante irracional, o número prateado, representado por $\delta_S=1+\sqrt{2}$.


Veja mais:

Retificação da Circunferência (Parte 6) - Método de Specht
Newton e a Série Infinita para $\pi$
Aproximação de $\pi$ Como Soma de Dois Números Irracionais
O Número Prateado

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$$a^2+b^2=c^2$$
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